专题三 与三角形角有关的几何模型（二）2023—2024学年人教版数学八年级上册期末培优复习

八年级数学上期末培优专题复习 专题三 与三角形角有关的几何模型（二） 模型四 角的折叠模型 折纸中的角度 如图1-11,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2. 结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2; (2)如图②,2∠A=∠1-∠2. 图1-11 模型结论的推导: 结论(1):由折叠可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,  即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,  ∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A. 自己试着推导结论(2).∠1—∠2=2∠A 模型的应用: 【例4-1】.如图，三角形纸片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，将纸片一角折叠，使点C落在△ABC的内部，若∠2＝50°，则∠1＝　 　． 【例4-2】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【例4-3】如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 针对练习4 1 .如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 2.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是(    ) A. B. C. D. 3 .（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系； （3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 模型五　双角平分线模型 1.模型1 三角形两内角平分线的夹角 如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点， 结论：∠BPC＝90°∠A； 模型证明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∵BP、CP是角平分线， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠BPC＝90°∠A； 模型的应用1: 【例5-1】如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线． （1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由． （2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数． （3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 【例5-2】如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（       ） A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α 【例5-3】已知中，．在图1中、的平分线交于点，则可计算得；在图2中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，则_______________． 模型2 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角 2 .如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点， 结论：∠BPC∠A； 模型证明：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P， ∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P， ∴∠P∠A； 模型的应用2 【例5-4】如图，中，，BD平分，平分的外角，、交于点，则的度数（　　） A． B． C． D． 【例5-5】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5-6】.如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A＝64°时，∠A2的度数为　 　． 模型3 三角形两外角平分线夹角 3.如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点， 结论：∠P＝90°∠A 模型证明：∵BP、CP是△ABC的外角平分线， ∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC）， 又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ＝180°（180+∠A） ＝90