专题二 与三角形角有关的几何模型（一）（2）2023—2024学年人教版数学八年级上册期末培优复习

八年级数学上期末培优专题复习 专题二 与三角形角有关的几何模型（一） 模型一　角的“8”字模型 如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC. 结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C. （2）AD+BC BD+AC 图1-1 模型结论的推导: （1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),  ∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),  又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),  ∴∠A+∠D=∠B+∠C. （2） AD<OA+OD①BC<OB+OC② ①+②得:AD+BC<BD+AC 模型结论的应用： 【例1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【例1-2】如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 【例1-3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ． 【例1-4】如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点． ①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 针对练习1 1 .如图所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　） A．180° B．360° C．240° D．200° 2 .如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　360°　． 3 .图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 4 .阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　 　； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　 　； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　 　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝　 　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 　 　． 模型二　角的燕尾模型（飞镖型） 如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 图1--6 模型结论的推导: 如图1-6,连接AD并延长到点E. ∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),  ∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),  ∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD. 又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C. 模型结论的应用 【例2-1】如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BDC＝　　 度，∠BOC＝　 度． 【例2-2】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【例2-3】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一