03二次函数中的角度问题-备战2024年中考二次函数满分训练（全国通用）

二次函数之角度问题 【牛刀小试】 如图①，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，BC．抛物线的对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，已知R是y轴上一点，连接AR，若AR平分∠OAC，求点R的坐标； （3）如图③，已知点G是抛物线上一点，连接CG，若∠GCB＝∠ABC，求点G的坐标； 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点R作RD⊥AC于点D，设点R（0，r），利用角平分线的性质得到RD＝RO＝r，RC＝OC﹣OR＝3r，再利用相似三角形的判定与性质得到关于r的方程，解方程即可得出结论； （3）配方法求得抛物线的解析式，利用分类讨论的方法分两种 情形讨论解答：①当点G在直线BC的上方时，CG∥AB，利用对称性解答即可；②当点G在直线BC的下方时，设CG交x轴于点T，利用直角三角形的边角关系定理求得线段OT的长度，再利用待定系数法求得直线CT的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论； 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y； （2）令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC． 过点R作RD⊥AC于点D，如图， 设点R（0，r）， ∵AR平分∠CAO，RO⊥AE，RD⊥AC， ∴RD＝RO＝r， ∴RC＝OC﹣OR＝3r． ∵∠CDR＝∠AOC＝90°，∠RCD＝∠ACO， ∴△CDR∽△COA， ∴． ∵A（﹣3，0）， ∴OA＝3． ∴AC6． ∴， 解得：r， ∴R（0，）； （3）∵y（x﹣3）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， ①当点G在直线BC的上方时，如图， ∵∠GCB＝∠ABC， ∴CG∥AB， ∴点G与点C关于直线x＝3对称， ∵C（0，3）， ∴G（6，3）； ②当点G在直线BC的下方时，如图， 设CG交x轴于点T， ∵A（﹣3，0），抛物线的对称轴为直线x＝3， ∴B（9，0）， ∵tan∠CBA， ∴∠CBA＝30°． ∵∠GCB＝∠ABC， ∴∠TCB＝∠CBA＝30°． ∵∠OCB＝60°， ∴∠OCT＝30°． 在Rt△COT中， OT＝OC•tan∠OCT＝3tan30°＝3． ∴点T的坐标为（3，0），即点T与点E重合， 设直线CT的解析式为y＝kx+c， ∴， 解得：， ∴直线CT的解析式为yx+3． 联立：， 解得：（舍去）或， ∴此时点G的坐标为（15，﹣12）． 综上，若∠GCB＝∠ABC，点G的坐标为（6，3）或（15，﹣12）； 【考点探究】 考点1：定角求坐标 【典例】如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，顶点为M（﹣1，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点D为线段AB上的一点，当∠BCD＝45°时，求点D的坐标； 【分析】（1）根据顶点坐标公式建立方程求出a、b的值即可求函数的解析式； （2）过点B作BG⊥AC交于点G，则△BCG是等腰直角三角形，设D（t，0），再由等积法B知D•CO＝CD•BG，从而得到方程3（1﹣t）•，求出t的值即可； 【解答】解：（1）∵顶点为M（﹣1，4）， ∴1，4， 解得b＝﹣2，a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 过点B作BG⊥AC交于点G， ∵∠BCD＝45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∵BC， ∴CG＝BG， 设D（t，0）， ∴BD＝1﹣t，CD， ∴BD•CO＝CD•BG，即3（1﹣t）•， 解得t＝6或t， ∵点D为线段AB上的一点， ∴t， ∴D（，0）； 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【变式】如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（5，）、点B（9，﹣10），与y轴交于点C． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）点P在抛物线上，过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当∠PCB＝90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．求点P和点F的坐标． 考点2：已知角度关系求坐标 【典例】如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的经过D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式和A、B两点坐标； （2）在y轴上有一点P，使得∠OAP＝∠BCO，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式解答即可； （2）利用相似