5.3.2.&5.3.3极大值与极小值 最大值与最小值-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

5.3.2.&5.3。3极大值与极小值 最大值与最小值 【考点梳理】 考点一：函数极值的定义 1．极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 考点二：函数极值的求法与步骤 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 考点三：函数最值的定义 1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 考点四：求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题． (2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【题型归纳】 题型一：求函数的极值 1．（2022下·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 2．（2022·全国·高二专题练习）求下列函数的极值： (1)；(2)；(3)． 3．（2023上·高二课时练习）求下列函数的单调区间、极值点和极值： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二：由极值求参数 4．（2023下·江西上饶·高二统考期末）若函数在处有极值10，则（ ） A． B．0 C．7 D．0或7 5．（2023下·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 6．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数在处取到极小值． (1)求的值； (2)求曲线在点处的切线方程． 题型三：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系 7．（2023下·广东梅州·高二统考期末）设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．有两个极值点 B． C．为的极小值 D．有一个极大值 8．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上有个极值点 B．在处取得极小值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极大值 9．（2023下·北京丰台·高二统考期中）已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是（    ）    A．在上单调递减B．在上单调递增C．为极值点D．为极值点 题型四：函数的最值与极值的关系 10．（2023·高二课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（    ）． A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值 B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D．函数在开区间上不存在极大值和最大值 11．（2023·全国·高