精品解析：重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

西南大学附中重庆育才中学 高2024届拔尖强基联盟高三十二月联合考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 3. 在首项为1的数列中，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 若且，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 12 5. 已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 点为正四面体的内切球球面上的两个动点，为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，在正四棱柱中，，O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正确的是（ ） A. B. 球的表面积为 C. 点到的距离为 D. 四棱锥的表面积为 10. 已知圆，直线（且不同时为0），下列说法正确的是（ ） A. 当直线经过时，直线与圆相交所得弦长 B. 当时，直线与关于点对称，则的方程为： C. 当时，圆上存在4个点到直线的距离为 D. 过点与平行直线方程为： 11. 已知函数是偶函数，其中，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 C. 的一个单调递增区间是 D. 若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是 12. 定义在上的函数同时满足以下条件： ① ② ③ ④ 则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 方程在上无实数解 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知数列是等差数列，表示数列的前项和，若，则______； 14. 若，则______． 15. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率是______． 16. 若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 等差数列满足，等比数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 在中，内角所对的边分别为，满足 （1）求证：； （2）若为锐角三角形，求的最大值． 19. 五棱锥中，，，，，，，，平面平面，为的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 研究表明，学生学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）． 月次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 某科课后投入时间（分钟） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 高三（1）班某科平均分（分） 65 68 75 72 73 73 73 73．5 73 （1）当时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程； （2）当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：； （3）当时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 21. 已知点为椭圆内的两点，在椭圆上存在两点，满足，直线交椭圆于点（点异于点）． （1）当时，求点的纵坐标； （2）求点，横坐标乘积的最大值． 22. 已知