两招搞定平面向量 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

两招搞定平面向量问题 平面向量问题这部分内容，重在其应用，但是近几年高考还停留在对其基本概念，基本 运算的考察，它在高中教材中主要涉及一个基本定理、两个重要关系、四个运算、两种方法．其 中两种方法是解决问题的出发点，选对思路，则可化繁为简，否则，容易走入死胡同. 例 1（1）已知直角梯形 ABCD 中， AD∥BC，∠ADC＝90°, AD ＝2，BC ＝1，P 是腰 DC 上 的动点，则|PA＋3PB|的最小值为 .→ → （2）给定两个长度为 1 的平面向量A和B ，它们的夹角为 .如图所示， 点 C 在以 O 为圆心的AB 上运动．若C＝xA＋yB， 其中 x，y∈R，则 x＋y 的最大值是 . 解析（1） 以 D 为原点， 分别以 DA ，DC 所在直线为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设 DC ＝a，DP＝x， ∴D(0 ，0)，A(2 ，0) ，C(0，a) ，B(1 ，a) ，P(0，x) . PA ＝(2，－x)，PB ＝(1，a－x) ，∴PA＋3PB ＝(5，3a－4x)，→ → → → |PA (→)＋3PB (→)|2 ＝25＋(3a－4x)2≥25，当 x ＝时取等号. ∴|PA＋3PB|的最小值为 5.→ → （2） 以 O 为坐标原点，A所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示， 则 A(1,0) ，B(－ ，) ．设∠AOC= α(α∈[0 ，])， 则 C(cos α , sin α)， 由C＝xA＋yB ，得〈(cos α =x －y， lsin α = y， 所以 x ＝cos α+sin α , y＝sin α , 所以 x＋y ＝cos α+sin α =2sin(α+)，又 α∈[0 ，]， 所以当 α = 时， x＋y 取得最大值 2. 答案（1）5 （2）2 点睛 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用函数的知识解决问 题．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决， 体现了解析法(坐标法)解决问题的 优势， 凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础. 例 2 （1）已知△ABC 和点 M 满足M→A＋M→B＋M→C＝0.若存在实数 m，使得A→B＋A→C＝mA→M 成立，则 m ＝ . （2） 已知|A| ＝1 ，|B|＝ ，A ·B ＝0，点 C 在∠AOB 内， 且C与A 的夹角为 30°, 设C＝mA＋nB(m ，n∈R)，则的值为( ) A ．2 B. C ．3 D ．4 解析（1） ∵M→A＋M→B ＋M→C＝0 ， ∴M 为△ABC 的重心. 如图所示， 连接 AM 并延长交 BC 于 D， 则 D 为 BC 的中点. ∴A→M＝A→D. 又A→D＝(A→B＋A→C) ， ∴A→M＝(A→B＋A→C)， 即A→B＋A→C＝3A→M， ∴m ＝3. （2） ∵A ·B ＝0 ， ∴A ⊥B ，以 OA 为 x 轴， OB 为y 轴建立直角坐标系， A ＝(1,0) ，B ＝(0，) ，C＝mA＋nB ＝(m ，n) . ∵tan 30°= ＝ ， ∴m ＝3n，即 ＝3，故选 C. 答案（1）3 （2）C 点睛 几何向量法与坐标向量法是解决向量问题的两种思路，选择恰当便会事半功倍. 例 3（1）如图所示，A ，B ，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若C＝mA＋nB ，则 m＋n 的取值范围是 . （1）图 （2）图 （2） 将等腰直角三角板ADC 与一个角为 30°的直角三角板 ABC 拼在一起组成如图所 示的平面四边形 ABCD，其中∠DAC＝45°, ∠B ＝30°.若B＝xA＋yD→C，则 xy 的值是 . （3） 已知菱形ABCD 的边长为 2 ，∠BAD ＝120°, 点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BE =λBC，DF=μDC.若AE AF＝1，CE CF＝－3，则 λ+μ = ( )→ ·→ → ·→ 2 A. B. C. D. 解析（1） 由题意得， C＝kD(k＜0)，又|k| ＝