四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期第15周周考（文科）数学试题

成都石室中学高2024届高三上期第十五周周考 数学试题(文科) （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．若如图所示的程序框图输出的S是43，则条件①可以为（    ）    A． B． C． D． 6．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的图象关于点对称 C．存在，使得恒成立 D．在上单调递增 7．（    ） A． B． C． D． 8．在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知函数，且，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 12．双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是 . 14．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为 . 15．已知正实数满足，则的最小值为 . 16．已知正实数满足，则的最小值为 ． 三、解答题 17．已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 18．2023年女足世界杯于7月20日至8月20日在新西兰和澳大利亚两国9个城市举办，这是历史上第一次有32支球队参赛，规模空前．某公司专门为该赛事设计了一款产品并进行试销售，统计了不同的售价（单位：元）与销量（单位：千枚）的5组数据：．该公司以此来作为正式销售时的售价参考． (1)请根据相关系数的值，判断售价与销量的线性相关强弱程度（计算结果精确到）； (2)建立关于的线性回归方程，预测售价为15元时的销量． 参考公式：． 参考数据：． 19．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°. (1)求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C； (2)若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A－BCC1B1的体积． 20．已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线的方程. 21．已知实数，函数 (1)证明： （i）存在唯一的极小值点； （ii） (2)证明：有三个不相等的零点，且. 22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的直角坐标方程； (2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 BDDAB CABAD AA 1，，，0 17．（1）数列中，，为前n项和， 当时，，， 当时，①， ②， 由②-①得：，， 即， 当时，，递推可得：，，，， 由累乘法可得：， ，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式， 所以； （2）由（1）可知，，所以： ， 所以 ； 所以数列的前n项和. 18．（1）因为． ， 所以． 因为相关系数近似为，所以说明与的线性相关性很强． （2）因为， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 当时，，故当售价为15元时，预测销量可达到2千枚． 19．(1)证明　∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∠ACB＝90°， ∴BC⊥平面ACC1A1， ∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C， ∵B1C1∥BC，∴A1C⊥B1C1， ∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC， ∴四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1， ∵AC1∩B1C1＝C1，AC1，B1C1⊂平面AB1C1， ∴A1C⊥平