第9讲 最大公约数和最小公倍数（讲义）人教版五年级下册数学

第9讲 最大公约数和最小公倍数 专题概述 在解决最大公约数和最小公倍数问题时，需要在因数和倍数的基础上，理解最大公约数和 最小公倍数的含义，发现数量之间的实质，常见题型如下： (1)求多个数的最大公约数； (2)求多个数的最小公倍数； (3)利用最大公约数和最小公倍数的两个性质，根据已知条件求解； (4)最小公倍数与植树问题的结合运用。 典型例题1 用60元可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元? 分析 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶分装的袋数应相同，即分装 的袋数应是144,180,240的公约数。要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144,180,240的最大公约数。 解 (144,180,240)=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5(元)。 答：每袋的价格最低是5元。 思维训练1 1. 把一块长为75厘米、宽为60厘米、高为45厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要尽可能大，木料又不能有剩余。算一算，可以锯成几块? 2. 某花店在情人节到来之前，用720元购买了96朵粉玫瑰和120朵白玫瑰做成花束出售，如果每个花束里的玫瑰数量相同，且粉玫瑰和白玫瑰不能剩余，做成的花束数量要尽量多， 要使花店不亏损，每个花束的价格最低是多少?此时每个花束里一共有几朵花? 典型例题2 在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿，当这两个齿轮 第二次咬合时，两个齿轮一共转了几圈? 分析 要使两个齿轮第二次咬合，就是求两个齿轮上齿的最小公倍数。然后用最小公倍数分别除以甲、乙齿轮上的齿数，得出甲、乙齿轮分别转了几圈，最后求和。 解 [28,42]=84 84÷28=3(圈) 84÷42=2(圈) 3+2=5(圈) 答：两个齿轮一共转了5圈。 思维训练2 1. 甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练，甲跑一圈需要85秒，乙跑一圈需要75秒，两 人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练，那么这次晨练他们用了几分钟? 2. 一根绳子长120米，从一端开始每隔10米做一个记号，每隔12米也作一个记号，然后把所有标有记号的地方剪断，这根绳子被剪成了多少段? 典型例题3 已知两个自然数的最大公约数是45,最小公倍数是1260,求这两个数。 分析 两个整数的最大公约数与最小公倍数有如下性质：(1)两个整数a,b 的最大公约 数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的乘积，即(a,b)·[a,b]=a·b;(2) 两个整数a,b 的最小公倍数是其最大公约数的倍数，其商可以分成两个互质的整数之积。利用性质(2)可以方 便地解出此题。 解 1260÷45=28 将28分成两个互质的自然数之积：28=1×28=4×7 则a=45,b=1260 或 a=180,b=315。 因此这两个数是45,1260或180,315。 思维训练3 1.已知两个自然数的最大公约数是11,最小公倍数是363,求这两个数。 2. 已知两个自然数的乘积是5766,最大公约数是31,求这两个数。 典型例题4 丁丁从家到学校的路上， 一共有13个公共自行车停靠站，原来每两个停靠站之间相距 150米，若要改成每两个之间相距200米，除两端的两个停靠站不需移动外，中间还有多少个停靠站不必移动? 分析 要求出不必移动的停靠站数目，就是求从家到学校距离内150和200的公倍数。 从家到学校的距离为150×(13-1)=1800(米),200与150的最小公倍数为600,所以第600米，1200米处的停靠站不必移动，即中间有2个停靠站不必移动。 解 150×(13-1)=1800(米) [150,200]=600 所以第600米，1200米处的停靠站不必移动。 答：中间有2个停靠站不必移动。 思维训练4 1. 学校组织开运动会，要插一排彩旗共31面。原来两面之间的距离是5米，现在改为6米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动? 2. 大雪后的一天，小亮和爸爸共同测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和方向完全相同，小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以走完一圈后雪地上 只留下60个脚印，求花园的周长。 竞赛强化 1. 把三根长分别是60厘米、45厘米、75厘米的绳子剪成同样长的小段，不许剩余，三根 绳子至少能剪成 段。 2. 某中学学生排队，如果每10人一排，多1人；每9人一排，仍多一人；每7人一排，少 人，该中学学生至少有