第二十三题 解不等式-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第二十三题 解不等式 真题展示与解法精粹 已知. （1）求不等式的解集； （2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积. 典型高考真题 一、单选题 1．（2022·浙江·统考高考真题）已知，若对任意，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 三、解答题 3．（2023·全国·统考高考真题）设，函数． (1)求不等式的解集； (2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c都是正数，且，证明： (1)； (2)； 6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数． （1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围． 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．（2023·山东·统考一模）不等式的解集是 . 6．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）若关于x的不等式的解集，则实数的取值范围是 ． 7．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）不等式的解集为 . 8．（2023·全国·模拟预测）已知函数则的解集为 ． 9．（2023·上海长宁·统考二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 10．（2023·上海松江·统考一模）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 三、解答题 11．（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)记函数的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求的最小值． 12．（2023·全国·模拟预测）已知函数的最小值为8． (1)求的值； (2)设，为正数，且，求的最小值． 13．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)． 14．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数． (1)解不等式； (2)设的最小值为，正数，满足，求证：． 15．（2023·全国·模拟预测）已知函数，当时，． (1)求m的取值范围； (2)若a，，m的最大值为t，证明：． 16．（2023·江西景德镇·统考三模）设，，均为正数，且.证明： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三题 解不等式 真题展示与解法精粹 已知. （1）求不等式的解集； （2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积. 【思路分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答. （2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答. 【小问1详解】 依题意，， 不等式化为：或或， 解，得无解；解，得，解，得，因此， 所以原不等式的解集为： 【小问2详解】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影， 由，解得，由, 解得，又， 所以的面积 典型高考真题 一、单选题 1．（2022·浙江·统考高考真题）已知，若对任意，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转换为，再结合画图求解． 【详解】由题意有：对任意的，有恒成立． 设，， 即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，，，或，， 故选：D． 二、填空题 2．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的