第二十一题 导数及其应用-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第二十一题 导数及其应用 真题展示与解法精粹 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 函数存在3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 8．（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 9．（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 10．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 11．（2021·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 12．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 . 四、解答题 13．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 14．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 15．（2022·天津·统考高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 16．（2022·浙江·统考高考真题）设函数． (1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 17．（2022·全国·统考高考真题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 18．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 19．（2021·全国·统考高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 20．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 21．（2021·全国·统考高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知实数，，（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·统考二模）已知函数，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）已知函数是单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知，且恒成立，则k的值不可以是（ ） A．－2