浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

浙江强基联盟2023学年第一学期高二12月联考 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的. 1. 若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在小于9的素数中，选两个不同的数，积为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中为假命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若m与n异面，，，则存在，使得，， 6. 在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 正项等比数列前n项和为，且满足，则的最大值为（ ） A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048 8. 在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某校组织了600名学生参与测试，随机抽取了80名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 图中a的值为0.15 B. 估计这80名学生考试成绩的众数为75 C. 估计这80名学生考试成绩的中位数为82 D. 估计这80名学生考试成绩的上四分位数为85 10. 如图所示，在四个正方体中，是正方体的一条体对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为（ ） A. B. C. D. 11. 记的图象为，如图，一光线从x轴上方沿直线射入，经过上点反射后，再经过上点反射后经过点P，直线交直线于点Q，下面说法正确的是（ ） A. B. C. 以为直径的圆与直线相切 D. P，N，Q三点共线 12. 斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，（，）.则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知，，，则______. 14. 已知P，A，B，C四点不共面，若，直线与平面所成的角为，则______. 15. 已知圆，直线，P为上的动点，过点P作的切线，，切点分别为A，B，则直线所过的定点坐标为______. 16. 已知数列的通项公式是.在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列.那么______.按此进行下去，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，则______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）D是线段上的点，且，，求的面积. 18. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，，异面直线与所成角的余弦值为，的面积为. （1）求该圆锥的表面积； （2）求该圆锥内半径最大的球的体积. 19. 在平面内，已知动点M到两个定点，距离的比值为2. （1）求动点M的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状； （2）直线与轨迹C交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程. 20. 如图，在直棱柱中，，E，F分别是棱，上的动点，且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 21. 已知为数列的前n项和，，. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，若关于m的不等式恒成立，求m的取值范围. 22. 已知椭圆左、右焦点分别为，，M是椭圆上的一点，当时，的面积为. （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线