上海市29校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023学年第一学期九年级数学学科素养测试 （满分：150分 完成时间：100分钟） 一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应）那么下列等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点、分别是的边、上，，且，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 1 3. 如果抛物线不经过第二象限，且在轴的左侧是上升的，那么下列对其顶点的描述中，正确的是（ ）． A. 其顶点一定不第一、二象限 B. 其顶点一定不在第二、三象限 C. 其顶点一定不在第三、四象限 D. 其顶点一定不在第四、一象限 4. 已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（ ） A. 向量与方向相同，且向量与方向相同 B. 向量与方向相同，且向量与方向相同 C. 向量与方向相反，且向量与方向相反 D. 向量与方向相反，且向量与方向相反 5. 如图，在中，是边上高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线：的顶点为，抛物线：的顶点为．命题1：如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上；命题2：如果点不在抛物线上，那么点也不在抛物线上．下列说法中，正确的是（ ） A. 命题1是真命题，命题2也是真命题 B. 命题1是真命题，命题2是假命题 C. 命题1是假命题，命题2是真命题 D. 命题1是假命题，命题2也是假命题 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，，那么________． 8. 已知抛物线顶点在直线上，且开口向下，请写出一个满足上述条件的抛物线的表达式：________． 9. 已知点和在二次函数图像上，则________0．（填“>”、“<”或“=”） 10. 已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么值为________． 11. 平面直角坐标系中点、、，设，，那么向量________．（用向量、表示） 12. 如果轮船甲位于轮船乙的北偏东方向，那么轮船乙位于轮船甲的________．（注明方向） 13. 已知等腰三角形两腰上的中线相互垂直，那么其顶角的正弦值为________． 14. 已知菱形的周长为，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为，那么关于的函数关系式是________．（不必写出定义域） 15. 已知一张等腰直角纸片，其底边长为，将其沿过其重心且平行于底边的直线折叠，则折叠后重叠部分的面积为________． 16. 已知在中，，，，是其重心，那么以、、为三边的三角形的面积是________． 17. 如图，将矩形分别沿、折叠，恰好使点、重合于形内点处，如果与的面积比为，那么________． 18. 如图，直线，等边的三个顶点分别在直线、、上，如果直线、间的距离与直线、的距离之比为，那么与直线夹角的正切值是________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在等腰梯形中，，，，，，垂足为． （1）设，，求作向量分别在、方向上的分向量； （2）求的值． 21. 已知函数． （1）试着通过列表、描点、连线的方式，画出其图像的草图； （2）根据所画草图，请写出该函数的三条图像特征． 22. 小明想利用建筑玻璃幕墙的反射作用来测建筑的高度．如图所示，他先在建筑的底部A处用测角仪测得其顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为，然后他沿前进了10米到达点处，再用测角仪测得建筑的顶部在建筑玻璃幕墙上的反射点的仰角为．已知，，测角仪置于水平高度米的、处．求建筑的高度． 23. 如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． （1）求证：点恰为线段黄金分割点； （2）现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 24. 如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． （1）以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； （2）将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ （3）如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 25. 如图，在中，，，，是边的中点，点位于边上，连接并延长交的延长线于点，过点作，垂足为． （1）当时，求的值； （2）当时，求证：； （3）作射线，使其平