2.2圆的一般方程 讲义-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2．2　圆的一般方程 一、学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 二、课前引入 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． 3、 教学过程 1知识点讲解 师问1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 生答1　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形． 师问2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 生答2　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 师问3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 生答3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点. 知识梳理 1．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 2课堂例题一、圆的一般方程的理解 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 教师点评　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 3课堂例题二、求圆的一般方程 例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 教师点评　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程； (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 4课堂例题三、圆的一般方程的综合问题 例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值． (1)证明　原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2. ∵k≠－1， ∴5(k＋1)2>0. 故方程表示圆心为(－k，－2k－5)， 半径为|k＋1|的圆． 设圆心为(x，y)，有 消去k，得2x－y－5＝0. ∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上． (2)证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0. 上式关于参数k是恒等式， ∴ ，解得 ∴曲线C过定点(1，－3)． (3)解　∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径， 即|－2k－5|＝|k＋1|. 两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2