专项07 因式分解-十字相乘法和分组分解法 2023-2024学年人教版八年级上册数学第十四章

专项07 因式分解-十字相乘法与分组分解法 知识点梳理 知识点1 十字相乘法 x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） 1 p 1 q 1×p+1×q=p+q 即先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 知识点2 分组分解法 即通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式“2+2”式. 题型归纳 【题型1 十字相乘法】 【题型2 分组分解法】 专项训练 【题型1 十字相乘法】 【例题1】把下列各式因式分解： （1） x2﹣2x﹣15. （2）x2﹣8x﹣9. （3）x2﹣x﹣20. （4）a2﹣2a﹣8. 【变式1-1】因式分解： （1） x2+4x﹣21= . （2） x2+3x﹣10= . （3） x2﹣x﹣12= . （4） x2﹣2x﹣24= . 【例题2】分解因式： （1） 4a2+4a﹣15= . （2） 2x2﹣x﹣15= . （3） 3m2﹣2m﹣16= . （4） 3x2﹣5x﹣2= . 【变式2-1】把下列各式因式分解： （1） 6x2+7x﹣5. （2）2x2﹣3x+1. （3）2x2+x﹣6. （4）5x2﹣28x+36. 【例题3】把下列各式因式分解： （1） . （2）. 【变式3-1】把下列各式因式分解： （1） 4a2+8a﹣12. （2）x3﹣10x2﹣24x. （3） 5x2+5x﹣10. （4）3ax2+9ax﹣12a. 【例题4】由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子x2+5x+6分解因式． 分析：这个式子的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项系数为6． x2+5x+6 1 2 1 3 二次项系数分解为1=1×1，常数项系数分解为6=2×3，一次项系数为5=2+3． 因此分解因式x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3． 解：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：x2+x﹣6＝　 　； （2）利用上面的方法分解因式：x2﹣10x+16． 【题型2 分组分解法】 【例题5】例：分解因式：7x2﹣3y+xy﹣21x． 解：7x2﹣3y+xy﹣21x ＝（7x2﹣21x）+（xy﹣3y） ＝7x（x﹣3）+y（x﹣3） ＝（7x+y）（x﹣3） 以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2﹣25+y2﹣2xy． 【例题6】把下列各式因式分解： （1） 16﹣m2+2mn﹣n2. （2）a2+b2﹣2ab﹣4． 【变式6-1】因式分解： （1）x2﹣4y2﹣9z2+12yz. （2）m4﹣m3+m2﹣m． 【变式6-2】因式分解： （1）1﹣a2﹣4b2+4ab． （2）m2+6m﹣n2+9． 【变式6-3】把下列各式因式分解： （1） a3+2a2b﹣9a﹣18b． （2）4﹣x2﹣9y2﹣6xy． 【变式6-4】把下列各式因式分解： （1）6a2+9ax﹣6xy﹣4ay． （2）16+a2+8a﹣b2． 专项07 因式分解-十字相乘法与分组分解法 知识点梳理 知识