热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点7-2 椭圆及其应用 椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。 【题型1 椭圆的定义及概念辨析】 满分技巧 在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的． 否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 【例1】（2021·高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线 【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________． 【题型2 利用定义求距离和差最值】 满分技巧 利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法： （1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； （2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值 【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为 . 【题型3 椭圆标准方程的求解】 满分技巧 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【题型4 椭圆的焦点三角形问题】 满分技巧 一般利用椭圆的定义、