数列递推关系求通项公式讲义-2024届高三数学二轮专题复习

递推是数列问题中的精髓 数列问题中通项是灵魂， 递推是精髓，利用递推相加、递推相减、递推相乘、递推相除 等对数列的通项进行研究，甚至求出通项，那么数列的其他问题便可迎刃而解. 例 1. 在数列{an }中， （1）在数列{an }中， a1 ＝1，an＋1 ＝3an＋2，则它的一个通项公式为 an = . （2）若 a1 ＝2 ，an＋1 ＝an＋n＋1，则通项 an = ; （3）若 a1 ＝1 ，Sn ＝an ，则通项 an = . （4）设{an }是首项为 1 的正项数列， 且(n＋1)an (2)＋1－nan (2)＋an＋1 ·an ＝0(n ＝1，2， 3 ，…)，则它的通项公式 an = . 例 2（1） 数列{an }中， a1 ＝1，对于所有的 n≥2，n∈N* ，都有 a1 ·a2 ·a3 · … ·an ＝n2 ，则 a3 + a5 = . （2）数列{an }满足 an＋1 ＝ ，a8 ＝2，则 a1 ＝ . 例 3. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，数列{Sn }的前 n 项和为 Tn ，满足 Tn＝2Sn－n2 ，n∈N*. (Ⅰ) 求 a1 的值； (Ⅱ) 求数列{an }的通项公式. 解析 (Ⅰ) 令 n ＝1 时， T1 ＝2S1－1， ∵T1 ＝S1 ＝a1 ， ∴a1 ＝2a1－1 ， ∴a1 ＝1. (Ⅰ) n≥2 时， Tn－1 ＝2Sn－1－(n－1)2， 则 Sn ＝Tn－Tn－1 ＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] =2(Sn－Sn－1)－2n＋1 ＝2an－2n＋1. 因为当 n ＝1 时， a1 ＝S1 ＝1 也满足上式，所以 Sn ＝2an－2n＋1(n≥1)， 当 n≥2 时， Sn－1 ＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得 an ＝2an－2an－1－2， 所以 an ＝2an－1＋2(n≥2)，所以 an＋2 ＝2(an－1＋2)， 因为 a1＋2 ＝3≠0，所以数列{an＋2}是以 3 为首项， 公比为 2 的等比数列. 所以 an＋2 ＝3×2n－1 ， ∴an ＝3×2n－1－2， 当 n ＝1 时也成立，所以 an ＝3×2n－1－2. 点睛（1） 由 Tn 与 Sn 的关系经递推相减的到 Sn 与 an 的关系，再有 Sn 与 an 的关系经递推的 到 an (|S1 ，n ＝1，|lSn－Sn－1 ，n≥2. （2） 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an ＝〈 当 n ＝1 时， a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n ＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an； 当 n ＝1 时， a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 点对点练习（十六） 1 ． 在数列{an }中，已知 a1 ＝1 ，an＋1 ＝2an＋1，则其通项公式为 an ＝( ) A ．2n－1 B ．2n－1＋1 C ．2n－1 D ．2(n－1) 2. 已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ，a1 ＝1，Sn ＝2an＋1，则 Sn ＝( ) A ．2n－1 B. n－1 C. n－1 D. 3 ． 数列{an }满足 an＋1＋an ＝2n－3，若 a1 ＝2，则 a8－a4 ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4 ． 数列{an }满足 an＋1 ＝ ，a8 ＝2，则 a1 ＝( ) A ．－1 B ．2 C ． D ．3 5. 在数列{an }中， a1 = 3 ， an+1 = an + ln(1+ ) ，则 an = ( ) A ．3 +ln n B ．3 +(n- 1) ln n C ．3 + nln n D ．1+ n +ln n 6 ． 已知数列{an }满足 an＋1 ＝an－an－1(n≥2)，a1 ＝1，a2 ＝3，记 Sn ＝a1＋a2 + ⅆ +an ，则下列结论正确的是( ) A ．a2 01