6.3 平面向量线性运算的应用 同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.3　平面向量线性运算的应用 一、必备知识基础练 1.(多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　)(参考数据:重力加速度大小g取10 m/s2,≈1.732) A.81 B.87 C.89 D.91 3.△ABC所在平面内一点P满足=m(m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为　　　　　. 4.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里? 二、关键能力提升练 5.已知O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足+λ(),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 6.P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 7.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是(　　) A. B.) C.=0 D.=0 8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ,则λ=　　　　　,μ=. 9.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:. 三、学科素养创新练 10.设O为△ABC内一点,且满足关系式+2+3=3+2,则S△BOC∶S△AOB∶S△COA=　. 11.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b. (1)试用a,b表示向量; (2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线. 12.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. (1)用 和 表示; (2)设 =λ+μ,求λ,μ的取值范围. 参考答案 一、必备知识基础练 1.AD　设点M为BC边的中点,由题意可得 ||=||, |-2|=|2-2|=2||, 据此结合题意可知CB=2AM, 由三角形的性质可知,△ABC的形状是直角三角形. 故选AD. 2.B　设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=500,<F1,F2>=60°, ∴|F1+F2|==500≈866, ∴10m=866, 解得m=86.6≈87. ∴学生的体重约为87 kg.故选B. 3.12　取AC的中点O, ∵=m(m>0,m为常数), ∴m=2, ∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍, ∴S△ABC=2S△ABP=12. 4. 解如图所示,设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC. 依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°. 故小船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进. 二、关键能力提升练 5.C　由题意,得=λ(),即=λ(),根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心. 6.B　由||=|-2|,可得||=||,即||=||, 所以四边形ABCD为矩形,因此,△ABC是直角三角形.故选B. 7.CD　,故A错误; )=,故B错误; )=0,故C正确; =-)+)+)=-)=0,故D正确. 故选CD. 8.　以D为原点,DC边所在直线为x轴,DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 不妨设AB=1,则D(0,0),C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴=(-2,2),=(-2,1),=(1,2). ∵=λ+μ, ∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2), ∴解得 9.证明由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)+(1-λ). 由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ).∴ ∴, ∴-==. 三、学科素养创新练 10.3∶2∶1　∵+2+3=3+2=3()+2()+(), ∴3+2=0, ∴+2+2=0. 分别取AB,AC的中点为D,E,则=2,点O为线段DE的三等分点(靠近点E). 延长AO交BC于点F,∴S△AOB=S△ABF=S△ABC=S△ABC, S