三种方法解决充要条件 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

三种方法解决充要条件 充要关系的判断有三种方法：解题时要注意这三种方法的相互转化. （1）定义法： 直接判断若p 则 q、若 q 则p 的真假. （2）等价法： 利用A⇒B 与非B⇒非A ，B⇒A 与非A⇒非B，A⇔B 与非B⇔非 A 的等价关系， 对 于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. （3）集合法： 若 A⊆B，则“x∈A”是“x∈B” 的充分条件或“x∈B”是“x∈A” 的必要条件； 若A =B，则“x∈A”是“x∈B” 的充要条件. 例 1 ．命题“∀x∈[1，2] ，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a≥4 B ．a≤4 C ．a≥5 D ．a≤5 解析命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4，故其充分不必要条件是集合[4， +∞)的真子集， 正确选项为 C. 答案 C 点睛 可以用集合语言表示的命题，使用集合法判断更加清晰 例 2 ．设{an }是公比为 q 的等比数列， 则“q＞1”是“{an }为递增数列” 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 若 q＞1，则当 a1 ＝－ 1 时， an ＝－qn－1 ，{an }为递减数列，所以“q＞1” “{an }为递 增数列” ；若{an }为递增数列，则当 an ＝－ n时， a1 ＝－ ，q＝＜1，即“{an }为递 增数列”⇒/ “q＞1”，故选 D. 答案 D 点睛 定义法是充分必要条件判断的根本方法， 对应的命题真假容易判断时可用此法 例 3 已知条件p：x2＋2x－3>0；条件 q：x>a，且军q 的一个充分不必要条件是军p，则 a 的 取值范围是( ) A [1，+∞) B (-∞ , 1] C [－1，+∞) D (-∞,-3] 解析 由x2＋2x－3>0，得x<－3 或x>1，由军q 的一个充分不必要条件是军p，可知军p 是军q 的充分 不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. ∴{x|x>a}{x|x<－3 或x>1}，∴a≥1. 答案 A 例 4 ．设 a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析 先证“a＞b”⇒“a|a|＞b|b|” ．若 a＞b≥0，则 a2＞b2 ，即 a|a|＞b|b|； 若 a≥0＞b，则 a|a|≥0＞b|b|；若 0＞a＞b，则 a2＜b2 ，即－a|a|＜－b|b|，从而 a|a|＞b|b|. 再证“a|a|＞b|b|”⇒“a＞b” ．若 a ，b≥0，则由 a|a|＞b|b|，得 a2＞b2 ，故 a＞b； 若 a ，b≤0，则由 a|a|＞b|b|，得－a2 ＞－b2 ，即 a2＜b2 ，故 a＞b； 若 a≥0，b＜0，则 a＞b. 综上， “a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件. 答案 C 点睛 用定义法直接判断，难点在于分类讨论思想的应用 点对点练习（三） 1. 设 U 为全集．A ，B 是集合，则“ 存在集合 C 使得A⊆C ，B⊆∁UC”是“A∩B = ∅” 的 A ．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件 ( ) C．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 解析 由 Venn 易知充分性成立．反之，A∩B=∅时，由 Venn 图 (如图)可知，存在 A＝C，同时满足 A⊆C ，B⊆∁UC. 故“存在集合 C 使得A⊆C ，B⊆∁UC”是“A∩B=∅” 的充要条件. 答案 C 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B” 的 A ．充分必要条件 B．充分不必要条件 ( ) C．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 结合正弦定理可知， a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B⇔sin A≤sin B(R 为△ABC 外接圆的半径)． 故选 A. 3．已知p：x≥k ，q：(x＋1)(2－x)＜