专题7.1 角与弧度（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题7.1角与弧度 知识点1任意角 1.任意角 （1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． （2）角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为. ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. ④角的减法可以转化为角的加法． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2）与中间用“”连接，如可理解成． 知识点二 弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 3．扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式 面积公式 角度制 弧度制 温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制． （2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ① 重难点1任意角的概念 【例1】时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 . 【例2】下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． 【变式1-1】若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 【变式1-2】如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【变式1-3】第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌.在冬奥会的比赛中有一位滑地运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于 度（不考虑符号）. 重难点2终边相同的角 【例3】角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4】将化为的形式是 ． 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 【变式2-1】与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】与角终边相同的角的集合是 ． 【变式2-3】在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)； (2)； (3)． 重难点3根据图形写出角（或范围） 【例5】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.    【例6】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】写出图（1），（2）中的角α，β，γ的度数．    【变式3-2】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【变式3-3】写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   重难点4确定n倍角与n分角所在象限 【例7】已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例8】的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边