4.2.2 等差数列前n项和的性质及最值 课件-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.2.2 等差数列的前n项和公式 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列前n项和的一些性质. 3.掌握等差数列前n项和的最值问题． 01 复习导入 复习回顾 2.公式与函数的关系： 等差数列的前n项和 1.两个公式： 02 等差数列的前n项和的性质 新知探究 等差 k2d 新知探究 1.证明：若是等差数列，则是等差数列，并表示出其首项和公差. 证明：设的首项为，公差为，则 ， 则 所以是以为首项，以为公差的等差数列. 新知探究 2.证明：分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则成等差数列吗？ 证明：设的首项为，公差为，则 ， ∴, . ∴， 即成等差数列，计算可知其公差为. 新知探究 nd 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 A 新知探究 3.等差数列前项和为30，前项和为100，则它的前项和为. A.130 B.170 C.210 D.260 解：利用等差数列的性质：，成等差数列. 即 解得 C. ∴ 新知探究 4.等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则等于_____. 解(2)：[法一]∵等差数列共有项， ∵，(公差为2，共有项) ∴ ① 而 (公差为2，共有项) ∴ ② 而， ∴用，得 新知探究 解：[法二]∵等差数列共有项， ∵，即 解得 4.等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则等于_____. 03 等差数列前n项和的最值 新知探究 an≥0 an＋1≤0 小 an≤0 an＋1≥0 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 方法总结 1.将 配方,转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决． 2.邻项变号法 当 ， 时，满足 的项数 使 取最大值． 当 ， 时，满足 的项数 使 取最小值． 新知探究 练习1.（多选题）等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，则下列结论正确的是( ). A. B. C.当 时， 最小 D.当 时， 的最小值为8 ABD 新知探究 解：设等差数列 的公差为 . 因为 ，所以 ，解得 . 又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，故A，B正确. 因为 ， 所以由 可知，当 或4时 最小，故 . 令 ，解得 （舍去）或 ，即当 时, 的最小值为8，故D正确． 故选ABD. 新知探究 新知探究 新知探究 04 课堂小结 课堂小结 等差数列前n项和的性质 (1)等差数列的前n项和Sn可以写为Sn＝pn2＋qn，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是_____数列． (2)等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，组成公差为____的等差数列． (3)若等差数列的项数为2n(n∈N*)， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 则S偶－S奇＝______，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1). 证明： S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝d＋d＋…＋d＝nd； eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(\f(n,2)（a1＋a2n－1）,\f(n,2)（a2＋a2n）)＝eq \f(a1＋a2n－1,a2＋a2n)＝eq \f(2an,2an＋1)＝eq \f(an,an＋1). (4)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)， 则S2n－1＝(2n－1)an， 记S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2， 则S奇－S偶＝an， eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1). (5)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1). 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0， ∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0. ∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得 eq \f(1,Sn－1)－eq \f(1,Sn)＋2＝0，即eq \f(1,Sn)－e