4.2.2等差数列的前n项和公式（第3课时） 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式 人教A版2019选择性必修第二册 第3课时 等差数列的前n项和性质 一 二 三 学习目标 学习目标 能推导等差数列的前项和公式，并熟练掌握 ，，，， 之间的关系，能够由其中三个求另外两个，培育数学运算的核心素养 能够利用等差数列的前 项和公式的函数特征判断等差数列以及求其前 项和的最值，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 能较熟练应用等差数列前n项和公式求和 复习回顾 2.在上一节中我们学习过了等差数列的哪些性质？ 1.等差数列的前n项和公式: “知三求二” 性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 性质2 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列. 那么，结合等差数列的前n项和公式，等差数列还会哪些性质？ 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 证明： 性质5 新知探究 问题1 若Sn是等差数列{an}的前n项和，证明数列 为等差数列. 教材P25第7题 等差数列前n项和的性质 例2变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质5还可以怎样解？ 解法2： 性质应用 性质6 问题2 证明： 等差数列前n项和的性质 (等差数列中等距离和成等差数列) 变式 已知等差数列{an}的n项和为Sn，且S10＝310，S20＝1220，求S30. 思考 利用性质6还可以怎样解？ 解法3： 新知探究 教材P23 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数. 问题3 通过解决本题，等差数列的奇数项和、偶数项和有什么性质呢？ 如果一个等差数列的项数为偶数，又会怎样呢？ 等差数列前n项和的性质 总项数为2n-1,其中有多少奇数项？多少偶数项呢？ 新知探究 新知探究 问题3 通过解决本题，等差数列项数分别为奇数和偶数时，奇、偶项和有什么性质呢？ (1)若一个等差数列的项数为奇数，设其项数为2n+1，则 最中间一项 性质7 等差数列前n项和的性质 新知探究 问题2 通过解决本题，等差数列项数分别为奇数和偶数时，奇、偶项和有什么性质呢？ (2)若一个等差数列的项数为偶数，设其项数为2n，则 性质8 等差数列前n项和的性质 新知探究 问题4 如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，Sn、Tn分别是它们前n项和，那么S2n-1与T2n-1会有什么关系？ 性质9 等差数列前n项和的性质 巩固练习 2.设等差数列，的前 项和分别为，，若，则 ( ) A. B. C. D. D 1.已知等差数列，的前项和分别为， ，，则 等于( ) A. B. C. 1 D. 2 A 奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 巩固练习 3. 在项数为 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则 等于( @25@ ) A. B. C. D. B 4.在等差数列中， ，且在这10项中，，则公差 ___. [解析] 由 得所以 ， 所以 . 2 奇、偶项的和”性质及“比值”性质的应用 5. 已知为等差数列，若， ， 则 ____. 解法一（基本量法）设数列的公差为 ，则 ， 所以 ， 故 . 解法二（“等距离和”性质法）记的前项和为， 因为 是等差数列，所以，，， ， 成等差数列， “等距离和”性质的应用 巩固练习 设此数列的公差为，则，所以 ， 所以 . 教材P24 4. 求集合M＝{m| m＝2n－1, n∈N*, 且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和. 巩固练习 ≤ 课堂小结 等差数列的前n项和公式的性质 性质4 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 性质6 性质5 性质7 性质8 性质9 四 求数列{|an|}的前n项和 能力提升 《学习笔记》P18 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 例 4 能力提升 《学习笔记》P18 求数列{|an|}的前n项和 分析：消和法得an=-3n+104 a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n +104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 方法一　①当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2- =n2-n+3 502. 故Tn= 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =- =n2-n+3 502， 故Tn= 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= 求数列{|an|}的前n项和 能力提升 (3)若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则 Tn= (4)分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 能力提升 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 求数列{|an|}的前n项和 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 跟踪训练 4 巩固练习 《学习笔记》P18 求数列{|an|}的前n项和 ∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵ 是以a1为首项，eq \f(d,2)为公差的等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， $$