北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

北京市第五十五中学2023-2024学年度第一学期 12月调研试卷 高二数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题： 1. 已知数列是一个等差数列，，公差，则其首项（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某物体位移（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是 A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 5. 已知空间三点，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设等比数列的的前项和是，则“”是“”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（ ） A. 21寸 B. 20.5寸 C. 20寸 D. 19.5寸 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 10. 如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ） A. 存点，使 B. 三棱锥的体积随动点变化而变化 C. 直线与所成的角不可能等于 D. 存在点，使平面 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题： 11. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查．已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品现在从这5名学生中随机抽取3人、则抽到的3人中有人喜欢甜品的概率为_________． 12. 求直线与直线夹角为________. 13. 已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为______． 14. 已知点M（4，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当|PM|+|PF|最小时，点P的坐标为__________________． 15. （图1）庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡， 前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡， 也称“四阿顶”；（图2）是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等， 已知，则_______________ 16. 已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题： 17. 已知是公差为正数的等差数列，，且是与的等比中项． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）求的前n项和的最小值． 18. 如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 20. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的最大值； （3）当时，证明：． 21. 若数列满足：，且，则称为一个数列．对于一个数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列． （1）若数列中，，写出其伴随数列中的值； （2）若为一个数列，为的伴随数列 ①证明：“为常数列”是“为等比数列的充要条件； ②求的最大值． 北京市第五十五中学2023-2024学年度第一学期 12月调研试卷 高二数学 本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题： 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答