6.2 黄金分割（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.2 黄金分割 第6章 图形的相似 苏科版 九年级下册 教学目标 01 通过建筑、艺术上的例子，理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念 02 能利用黄金分割的相关概念进行简单的计算 凡是美的东西，都有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致。 ——毕达哥拉斯 01 情境引入 案例1：东方明珠塔，塔高468米。 在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型（如图1）。 后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体（如图2） 01 情境引入Part1 我们可以建立如图所示的数学模型，度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值. 东 方 明 珠 塔 “黄金分割点”究竟特别在哪里呢？ 计算可得： AB:AC≈0.62 BC:AB≈0.62 推测： AB:AC=BC:AB 01 情境引入Part1 案例2：芭蕾舞演员表演时，身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。为什么舞台上翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖呢？ 因为踮起脚尖可以让芭蕾舞演员的下半身显得更加修长，给人以匀称、协调的美感。 01 情境引入Part2 让我们从数学角度来分析“这种美感”产生的根源 度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值。 01 情境引入Part2 计算可得： AB:AC≈0.62 BC:AB≈0.62 推测： AB:AC=BC:AB 案例3：古希腊数学家、天文学家欧多克赛斯提出一个问题∶ 能否将一条线段 AC分成不相等的两部分，使较短的线段BC与较长线段AB的比等于AB与原线段AC的比？（如图） 01 情境引入Part3 解：设AC=“1”，AB=x，则BC=1-x， 由=，得：=x，即x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（舍），∴AB=，∴==。 0.618 01 情境引入Part3 请求出的近似值（保留到千分位） 【总结】 通过以上三个案例的计算，我们会发现0.618或0.62这个值的出现并不是偶然，它就是黄金比值的约值。 黄金分割 02 知识精讲 如图，点B把线段AC分成两部分，如果=(BC<AB)，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。 AB与AC(或 BC与AB)的比称为黄金比，它们的比值为，在计算时，通常取它的近似值0.618。 02 知识精讲 上述=可转化为： (1)AB2=BC·AC；(2)=。 议一议1：“黄金分割”在生活中还有哪些应用呢？ 数学课本是长方形，其宽与长的比约为0.618 一片树叶也蕴含着“黄金分割” 鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618 02 知识精讲 议一议2：一条线段有几个黄金分割点？（以线段AC为例） 【总结】一条线段的黄金分割点有2个 A C 【分析】设B为黄金分割点 ①若B1靠近点A(AB1<BC) ②若B2靠近点C(AB2>BC) B1 B2 02 知识精讲 议一议：已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度。 【分析】B点有两种可能性，需分类讨论： 02 知识精讲 A C B1 B2 ①AB1<B1C， ∵点B1为线段AC的黄金分割点，∴=， ∴==1-=1-=，∴AB=(1-)AC=AC； 02 知识精讲 议一议：已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度。 A C B1 B2 ②AB2>BC2 ∵点B为线段AC的黄金分割点，∴=， ∴AB=AC。 题型总结 02 知识精讲 【题型：利用黄金比求线段长】 已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度。 【总结】 ①AB<BC时，AB=AC； ②AB>BC时，AB=AC。 例1、地球表面纬度范围是0～90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家，那么黄金地带纬度的范围是______________。（黄金比为0.618） 【分析】∵90°×0.618=55.62°， 90°-55.62°=34.38°， ∴黄金地带纬度的范围是： 34.38°～55.62°。 34.38°～55.62° 03 典例精析 例2、已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=6，那么AP的长是______________cm。 03 典例精析 【分析】 ①AP>PB， ∵点P是线段AB的黄金分割点， ∴AP=AB=×6=3-3； ②AP<PB， ∵点P是线段AB的黄金分割点， ∴AP=AB=×6=9-3。 3-3或9-3 例3、如图，P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列结论成立的个数是________个。 (1)=； (2)AB:AP=AP:PB； (3)