专题09 利用导数研究函数的性质-高中数学高考备考二轮复习优化提优专题训练

专题09 利用导数研究函数的性质 1、（2023年全国甲卷数学（文））曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 4、（2023年全国乙卷数学（文））．函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 5、（2023年全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为： 6、【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】          【解析】 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 7、【2022年新高考1卷】已知函数，则（       ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】由题，，令得或， 令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D错误. 故选：AC. 8、（2023年全国乙卷数学（文））6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 题组一、函数图像的切线问题 1-1、（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由且x不为0，得 设切点为，则，即， 所以，可得. 故选：C 1-2、（2023·江苏南京·校考一模）若直线与曲线相切，则_________． 【答案】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得：，，， 又，，解得：， . 故答案为：. 1-3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求导，再由导数的几何意义和点斜式即可求解 【详解】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 1-4、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数______． 【答案】2 【分析】设切点为，由点在两线上及切线斜率建立方程组解得参数. 【详解】设切点为，则有. 故答案为：2. 1-5、（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解