第八题 空间几何体的表面积和体积-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（乙卷专用）

第八题 空间几何体的表面积和体积 真题展示与解法精粹 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． （1）求证：//平面； （2）若，求三棱锥的体积． 典型高考真题 一、单选题 1．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（    ） A．26% B．34% C．42% D．50% 8．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为的球体 B．所有棱长均为的四面体 C．底面直径为，高为的圆柱体 D．底面直径为，高为的圆柱体 10．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（    ）． A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．的面积为 11．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 12．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 13．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 14．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 15．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 16．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 模拟题训练 一、单选题 1．（2023·全国·模拟预测）已知正三棱锥的外接球的表面积为，若平面PBC，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南新乡·统考一模）已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川泸州·统考一模）已知菱形的边长为6，，将沿对角线翻折，使点到点处，且二面角为，则此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·模拟预测）已知一个圆锥