第一部分 专题一 第5讲 导数的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

1.(2023.邯郸三模)已知函数x)=12r2十m一xnx (1)若x)在[1，十∞)单调递增，求实数m取值范围： (2)若x)有两个极值点1,2，且灼<x2,证明：x2<1 解：(1)由题意，f()=x+m一1一lnx, 因为fx)在[1，十∞)单调递增，所以子(x)≥0在[1，+∞)恒成立. 即m≥lnxx+1在[1，+o)恒成立， 令gx)=lnx-x+1, 则g'(x)=1一xx,g′)在[1，+∞)上恒小于等于0， 故gx)在[1，十∞)单调递减，gx)m=g1)=0.故m≥0 (2)f(x)=x十m-1-nx有两个零点， 即m=nx一x十1有两个根 由(I)知，g(x)=nx一x+1在(0,1]上单调递增，在1，十∞)上单调递减，且g(x)mm=g (1)=0. 所以m<0,且0<x<1< 要证2<1，只需证x2<1xl,又gx)在[1，十∞)单调递减，只需证g (x2)>gawvs4allcol(f(1x1)) 又gx)=g(2),只需证g)>gavs4 alcol0f1xl) 只需证lnm-+1>lnlx1-1x1+1;只需证21一+1x1>0, 记mx)=1x-x+2nx, 则m'(w)=-1x2-1+2x=-口x-1日2x2<0, 故mx)在(0，I)上单调递减， 从而当x∈(0,1)时，mx)>m(1)=1-1=0, 所以m)>0,因此2<1 2.(2023济南二模)已知函数x)=lnx口x-a口2. (I)当a=0时，求x)在区间[1，c上的值域： (②)若x)有唯一的极值点，求a的取值范围. 解：(1)当a=0时，9)=lnxx2,则fc)=1-2nxx3, .当x∈[1，e)时，f()>0:当x∈(e,e]时， x)<0: x)在[1，e)上单调递增，在(e,e上单调递减，.axmw=术e)=12e, 又f1)=0,fe)=le2,.fx)mm=1)=0, fx)在[1，e]上的值域为0，f12e》 (2f(e)=x一（传o以）3=am(传a)3,fx)的极值点即为)的变号零点， 设gx)=1-ax-2hx,g′()=ax2-2x=a-2x2: 学科网书城 团 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ①若a≤0，，y=-ax与y=-2nx在(0，+o)上单调递减， ·gx)在(0，十∞)上单调递减： :g1)=1-a>0,ge-a)=1-ae-a-2ln(e-a)<0, .存在唯一的o∈(1，e一a),使得go)=0, 又x)定义域为(0，+∞)，(x-a)3>0, fo)=0,且当x∈(0，x0)时，P(x)>0:当x∈(o,+o)时，fx)<0: x)在(0，xo)上单调递增，在(o,十∞)上单调递减， ∴x)存在唯一的极大值点，符合题意； ②若a>0,fx)定义域为(0，a)U(a,十c∞)， 当x>a时，(x-a)3>0,g'()<0,g(a=-2na, gx)单调递减， (i)当a>1时，g(a)<0,g9<0,即()<0， ∴fx)在(a,十)上无极值点； (i)当a=1时，g(a=0,g()≤0，即(x)≤0， fx)在(a,十o)上无极值点； (iii)当0<a<1时，g(a)>0,g(2)<0, ∴.存在唯一的∈(a,2),使得gs)=0, 即f()=0, 当xe(a,)时，gx)>0,即f(x)>0;当x∈，+o)时，g)<0,即()<0： x=1是x)的极大值点， 此时x)在(a,十co)上有一个极值点： 当0<x<a时，(c-a)3<0:令g'(x)=0, 解得：x=a2, 则当Elaws44acol(0,fa2)时，g'(x)>0:当Elalvs44 alcol0f(a2),a)时， g′(x)<0: ·gx)在alvs4 alcol(0,f(a2)上单谓递增，在alvs4 alcol(f(a2),a)上单谓递减： 令gavs4 alcol(f(a2)=1-2lna2=0,解得：a=2r(e), (i)当a>1时，若a∈avs4 alcol(1,f2r(e),gaws4 aIcol(f(a2)>0,g(a)=-2h a<0, 当x∈avs4 alcol(0,fa2)时，gavs4 alcol(0fa216)=1-16a-2na216<1-16a+4 fa216-4=-3<0, .∴3∈avs4 alcol(f(a2a2),∈aws4 alcol(f(a2),a), 使得g2)=g()=0, ·独家授权侵权必究 亨学科网书城 团 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则当x∈(0,2)U(,a时，gx)<0,即f()>0:当x∈(2，x)时，gx)>0,即f (x)<0: ∴x)在(0，x2),