第一部分 专题五 第3讲 圆锥曲线中的综合问题-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

解答题 1．(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)． (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值． 解：(1)∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)， ∴＝2，解得p＝4， 故抛物线C的标准方程为：y2＝8x； (2)∵点A的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4， 故A点的坐标为(2,4)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由已知设AB：m(y－4)＝x－2，即x＝my－4m＋2， 代入抛物线的方程得y2＝8(my－4m＋2)，即y2－8my＋32m－16＝0， 则y1＋4＝8m，故y1＝8m－4， 所以x1＝my1－4m＋2＝m(8m－4)－4m＋2＝8m2－8m＋2， 即B(8m2－8m＋2,8m－4)， 设AC：－m(y－4)＝x－2，即x＝－my＋4m＋2， 同理可得y2＝－8m－4，则x2＝－my2＋4m＋2＝－m(－8m－4)＋4m＋2＝8m2＋8m＋2， 即C(8m2＋8m＋2，－8m－4)， 直线BC的斜率kBC＝＝＝－1， 所以直线BC的斜率为定值． 2．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 解：(1)由题意可得， 解得， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ： y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程，消去y得：(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k＞0，解得k＜0， 可得x1＋x2＝－， x1x2＝， 因为A(－2,0)，则直线AP的方程为： y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N， 则＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3， 所以线段MN的中点是定点(0,3)． 3．(2023·温州二模)已知点F1，F2分别是双曲线C1：x2－y2＝2的左右焦点，过F2的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限． (1)求点P横坐标的取值范围； (2)线段PF1交圆C2：(x＋2)2＋y2＝8于点B，记△PF2B，△AF2F1，△PAF1的面积分别为S1，S2，S，求＋的最小值． 解：(1)由双曲线C1：x2－y2＝2，即－＝1可得焦点F2(2,0)， 设P(x1，y1)，A(x2，y2)，＝λ，则λ＞0， 根据向量定比分点公式：， 将P，A坐标代入双曲线得： ⇒， 两式相减得：(x1－λx2)(x1＋λx2)＝2(1－λ2)⇒(x1－λx2)·2(1＋λ)＝2(1＋λ)(1－λ) 则有：x1－λx2＝1－λ，再结合x1＋λx2＝2(1＋λ)，解得x1＝＋＞， 故x1∈. (2)由－＝1可得e＝＝， ∵P(x1，y1)在－＝1上，则有y＝x－b2 |PF1|＝，将y＝x－b2代入， |PF1|＝＝ ＝＝＝＝ex1＋a， 根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，|PF2|＝ex1－a， 显然|PB|＝|PF1|－2＝|PF2|， ＝＝·＝·＝·＝·＝，＝＝λ＋1， 则＋＝＋λ＋1＝λ＋＋2≥2＋2，当且仅当λ＝时取等号， 故＋的最小值为2＋2. 4．(2023·张家界模拟)已知曲线C的方程：－＝1(x＞0)，倾斜角为α的直线l过点F2(3,0)，且与曲线C相交于A，B两点． (1)α＝90°时，求三角形ABO的面积； (2)在x轴上是否存在定点M，使直线l与曲线C有两个交点A、B的情况下，总有∠OMA＝∠OMB？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由－＝1(x＞0)可知曲线是以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 过焦点F2(3,0)，倾斜角为90°的直线l方程为x＝3，当x＝3时y＝±， 所以S△AOB＝×3×5＝. (2)当α≠90°时，设直线l的方程为：y＝k(x－3)，联立方程， 整理得(5－4k2)x2＋24k2x－36k2－20＝0， 因为直线l与曲线C有两个交点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以，解得k＜－或k＞， 由∠OMA＝∠OMB得x轴平分∠AMB，所以kAM＋kBM＝0， y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)， 则x2y1＋x1y2＝2kx1x2－3k(x1＋x2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－6)， 假设在x轴上存在定点M(m,0)，则kAM＝，kBM＝， kAM＋kBM＝＋