第一部分 专题四 第3讲 空间向量与立体几何-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案课时作业word（新教材）

一、解答题 1．(2023·南通三模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，BC＝2，A1C＝2，AC⊥BC，∠A1AB＝60°. (1)证明：BC⊥平面ACC1A1； (2)设点D为CC1的中点，求直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，连接A1B 由AB＝AA1，∠A1AB＝60°，所以△ABA1为等边三角形 因为A1C＝2，BC＝2，A1B＝4， 所以A1B2＝A1C2＋BC2，所以BC⊥A1C， 又BC⊥AC，AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1. (2)如图，设E为BB1的中点，连结A1E，DE，作DF⊥A1E于F. 因为BC⊥平面ACC1A1，DE∥BC，所以DE⊥平面ACC1A1， 又CC1⊂平面ACC1A1，所以DE⊥CC1. 在△A1CC1中，A1C＝A1C1， D为CC1的中点，所以A1D⊥CC1，又A1D∩DE＝D，所以CC1⊥平面A1DE. 因为BB1∥CC1，所以BB1⊥平面A1DE，所以BB1⊥DF， 又因为DF⊥A1E，BB1∩A1E＝E，BB1，A1E⊂平面ABB1A1，所以DF⊥平面ABB1A1， 所以直线A1D与平面ABB1A1所成角为∠DA1E. 在△DA1E中，A1D⊥DE，A1D＝＝2，DE＝BC＝2， 所以A1E＝＝2，所以sin∠DA1E＝＝.因此，直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值为. 解法2：如图，以C为原点，以射线CA，CB分别为x，y轴正半轴，建立空间直角坐标系C­xyz， 则C(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)， A1，C1， D 因此＝， ＝(－2，2,0)，＝. 设平面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 由，得 可取n＝(，，1)． 设直线A1D与平面ABB1A1所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 因此，直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值是. 2．(2023·深圳二模)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B. (1)证明：A1A＝A1C； (2)若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值． 解：(1)设AC的中点为O，连接OA1，OB， 因为AB＝BC，所以AC⊥OB，又因为AC∥A1C1，且A1C1⊥A1B， 所以AC⊥A1B, 因为A1B，OB⊂平面OBA1，且A1B∩OB＝B， 所以AC⊥平面OBA1，因为OA1⊂平面OBA1， 所以AC⊥OA1，又因为O是AC的中点， 所以A1A＝A1C. (2)在△ABC中，由余弦定理求得AC＝2，则A1C1＝AC＝2， 因为A1C1⊥A1B，所以A1C＋A1B2＝BC，解得A1B＝， 在Rt△AOA1和Rt△ABC中，可知A1O＝OB＝1. 在△OBA1中，OA＋OB2＝A1B2，因此A1O⊥OB. 由(1)知，AC⊥OA1，且AC，OB⊂平面ABC，且AC∩OB＝O， 所以A1O⊥平面ABC. 以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)． 所以＝＝(1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0)，＝＝(0，，1) 设平面A1B1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则，， 令x1＝，得m＝(，－1，－)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则，即 令x2＝，得n＝(，1，－)， 设平面A1CB1与平面BCC1B1夹角为θ，则cos θ＝＝，所以平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值为. 3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点． (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：如图所示： 连接D1E，D1F，取BB1的中点为M，连接MC1，ME， 因为M为AA1的中点，所以EM∥A1B1∥C1D1，且EM＝A1B1＝C1D1， 所以四边形EMC1D1为平行四边形， 所以D1E∥MC1， 又因为F为BB1的中点， 所以BM∥C1F，且BM＝C1F， 所以四边形BMC1F为平行四边形， 所以BF∥MC1，所以BF∥D1E，所以B，E，D1，F四点共面． (2)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 假设存在满足题意的点G，设G(0,0，t)， 由已知B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)， 则＝(－1,1,0)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，t－1