第一部分 专题一 第4讲 导数的简单应用-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第4讲　导数的简单应用 ★[高考定位]　高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中． 考点一　导数的运算及几何意义 1．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．四个易误导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)； (4)(logax)′＝(a＞0，且a≠1，x＞0)． [例1]　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ [解析]　C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝，所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝ 所以y－＝(x－1) 所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C.] (2) (2023·济南二模)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2　　B．－1　　　C．0　　　D．2 [解析] A　[设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则，解之得，故选A.] 函数y＝f(x)的切线方程的三种类型及求解方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． 1． (2023·泉州质监三)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝0，且当x∈[0,1)时，f(x)＝－1，则曲线y＝f(x)在点处的切线方程为(　　) A．4x－4y＋11＝0 B．4x＋4y＋11＝0 C．4x－4y＋7＝0 D．4x＋4y＋7＝0 解析：A　[f(2－x)＋f(x)＝0可以得f(x)关于(1,0)中心对称 且f(x)为偶函数，所以f(x)的周期为4. ∴f＝f＝－f＝－＝，f′(x)＝，∵f(2－x)＋f(x)＝0， ∴f′(x)＝f′(2－x)，即f′(x)关于x＝1对称； ∴f′＝f′＝f′＝1 所以切线方程：y－＝x＋ 即：4x－4y＋11＝0，故选A.] 2．(2023·齐齐哈尔一模)已知曲线C1：y＝x2＋ax－2a2在x＝t处的切线为l1，曲线C2：y＝ln x在x＝t处的切线为l2，若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______． 解析：由曲线C1可得y′＝2x＋a，由曲线C2可得y′＝(ln x)′＝， 由导数的几何意义可得：直线l1的斜率为2t＋a，直线l2的斜率为， 若存在实数t使得l1与l2的倾斜角互补， 则方程2t＋a＝－，即2t2＋at＋1＝0存在正根，所以解得a≤－2. 答案：(－∞，－2] 　　　　　　　　　　　微重点3　公切线问题 近几年高考中为了体现题目的新颖性，出现了公切线问题，主要在客观题中出现，考查学生对“化归与转化”的思想和“函数”的思想的理解，题目的综合性较强，难度较大． [备选]　(1)(2023·邵阳二模)已知直线l是曲线y＝ln(x－2)＋2与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为______． 解析：设直线l与曲线y＝ln(x＋2)＋2和y＝ln(x－1)分别相切于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 分别求导，得y′＝，y′＝， 故l：y－[ln(x1－2)＋2]＝(x－x1)，整理可得y＝x＋ln(x1－2)＋2－. 同理得l：y－ln(x2－1)＝(x－x2)，整理可得y＝x＋ln(x2－1)－. 因为直线l为两曲线的公切线， 所以，解得， 所以直线l的方程为y＝2x－3－ln 2，令y＝0，则x＝. 则直线l与x轴的交点坐标为. 答案： (2)(2023·郴州、湘潭适应性考试)定义：若直线l与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象都相切，则称直线l为函数y＝f(x)和y＝g(x)的公切线．若函数f(x)＝aln x(a＞0)和g(x)＝x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为(　　) A．e　　B.　　　C．2e　　　D．2 [解析]　C　[设直线与g(x)＝x2的切点为(x1，x)， 因为g′(x)＝2