第一部分 专题一 第3讲 不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第3讲　不等式 ★[高考定位]　考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题；一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合，考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等． 考点一　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [例1]　(1)已知集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，集合N＝，则M∪N＝(　　) A．{x|－3＜x＜1}　　　 B．{x|－4＜x＜1} C．{x|－4＜x＜2} D．{x|－3＜x＜2} [解析]　C　[M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|－4＜x＜1}，M∪N＝{x|－4＜x＜2}．故选C.] (2)[多选]已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜1或x＞3}，则下列结论正确的是(　　) A．c＜0 B．a＋2b＋4c＜0 C．cx＋a＜0的解集为 D．cx2－bx＋a＞0的解集为　 [解析]　ABC　[因为不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜1或x＞3}， 所以ax2＋bx＋c＝0的两个根为1和3，且a＜0， 由韦达定理得1＋3＝－，1×3＝，得b＝－4a，c＝3a， 因为c＝3a＜0，所以A正确， 因为a＋2b＋4c＝a－8a＋12a＝5a＜0，所以B正确， 不等式cx＋a＜0可化为3ax＋a＜0，因为a＜0，所以3x＋1＞0，得x＞－， 所以cx＋a＜0的解集为，所以C正确， 不等式cx2－bx＋a＞0可化为3ax2＋4ax＋a＞0，因为a＜0， 所以3x2＋4x＋1＜0，即(x＋1)(3x＋1)＜0， 得－1＜x＜－， 所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为 ，所以D错误．故选ABC.] 不等式的求解技巧 (1)对于和函数有关的不等式，可利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 1．若关于x的不等式2x2－x＋a＜0的解集是{x|b＜x＜2}，则a＋b＝(　　) A．－1　B．－　　C．－　　D．－9 解析：B　[∵关于x的不等式2x2－x＋a＜0的解集是{x|b＜x＜2}， ∴x＝b，x＝2是方程2x2－x＋a＝0的两根， ∴，解得， ∴a＋b＝－6＋＝－，故选B.] 2．(2023·丽水模拟)已知函数f(x)＝x2－ax－1(a＞0)，若f(x)＜0的解集中有且仅有两个整数，则a的取值范围是__________． 解析：因为f(0)＝－1＜0，且f(x)＜0的解集中有且仅有两个整数， 所以，解得0＜a≤， 所以a的取值范围是. 答案： 考点二　不等式的性质 不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) (4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性) (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (8)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)．(单向性) [例2]　(1)(2023·葫芦岛一模)若a，b，c为实数，且a＜b，c＞0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c＜b＋c　　　　 B.＜ C．ac＞bc D．b－a＞c [解析]　A　[对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a＜b⇒a＋c＜b＋c，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若a＝－2，b＝－1，则＞，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，c＞0,0＜a＜b⇒ac＜bc，C选项错误； 对于D选项，因为a＜b⇒b－a＞0，c＞0，所以无法判断b－a与c大小，D选项错误．] (2)[多选](2023·永州三模)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(　　) A．若b＜a＜0，则b·c2＜a·c2 B．若b＞a＞0＞c，则＜