第一部分 专题五 第3讲 圆锥曲线中的综合问题-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第3讲　圆锥曲线中的综合问题 ★[高考定位]　圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识． 考点一　范围、最值问题 [例1]　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． [解]　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由，可得y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝ ＝|yA－yB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p＞0，解得p＝2. (2)因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由，可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n＞0⇒m2＋n＞0， 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1,4(m2＋n)＝(n－1)2＞0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，|MN|＝＝ |y1－y2|＝ ＝＝2|n－1|， 所以△MNF的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 求解范围、最值问题的五种方法 (1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系． (3)利用隐含的不等关系，求出参数的取值范围． (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围． 　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点，当直线MD⊥x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD、ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN、AB的倾斜角分别为α，β，当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 解：(1)由题可知，当x＝p时，y2＝2p2，则yM＝p， 则可知|MD|＝p，|FD|＝， 则在Rt△MFD中，|FD|2＋|DM|2＝|FM|2， 得2＋(p)2＝9，解得p＝2， 则C的方程为：y2＝4x. (2)要使α－β最大，则tan(α－β)最大，且易知当直线MN的斜率为正时，α－β为正才能达到最大． 又tan(α－β)＝， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(1)可知F(1,0)，D(2,0) 则tan α＝kMN＝＝＝， 又N，D，B三点共线，则kND＝kBD，则＝，则＝，得y2y4＝－8，即y4＝. 同理由M，D，A三点共线可得y3＝， 则tan β＝＝. 由题可知，直线MN斜率不为0, 不妨设lMN：x＝my＋1(m＞0)， 由⇒y2－4my－4＝0⇒ 则tan α＝＝，tan β＝＝， 则tan(α－β)＝＝， 则可知当m＝时，tan(α－β)最大，即α－β最大，此时AB的直线方程为y－y3＝(x－x3)，即4x－(y3＋y4)y＋y3y4＝0， 又y3＋y4＝＋＝＝8m＝4， y3y4＝·＝－16， 则AB的直线方程为4x－4y－16＝0，即x－y－4＝0. 考点二　定点(直线)、定值问题 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． [解]　(1)由题意c＝2，e＝＝， 则a＝2，b2＝16，双曲线C的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，过P且与MN相交的直线方程为x＝ty－4，联立双曲线得(4t2－1)y2－32ty＋48＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝，则x1＋x2＝， 设直线MA1：＝， 直线NA2：＝， 联立消去y，得y1＝y2， 化为＝＝＝＝＝＝－，代入韦达定理解得x＝－1，即P在直线x＝－1上． 直线过定点问题的两大类型及解法 (1)动