第一部分 专题五 第2讲 圆锥曲线的方程与性质-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　圆锥曲线的方程与性质 ★[高考定位]　圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现． 考点一　圆锥曲线的定义及方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为＋＝1，其中a>b>0； (2)双曲线的标准方程为－＝1，其中a>0，b>0. (3)抛物线的标准方程为x2＝±2py，y2＝±2px，其中p>0. [例1]　(1)(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则A到C的准线的距离为________． [解析]　由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x， 准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝. [答案]　 (2)(2023·全国甲卷)已知椭圆＋＝1，F1、F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　) A.　 B.　　C.　　D. [解析]　B　[设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，所以＝b2tan＝b2tan θ， 由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得：tan θ＝， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以，＝×|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得：y＝3， 即x＝9×＝，因此|OP|＝＝＝.故选B.] 圆锥曲线方程的求法 　求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算．” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． 1．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：B　[易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，于是有|AB|＝＝2.] 2．(2023·洛阳统考)已知双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上且·＝0，则△AF1F2的内切圆的半径为(　　) A.－ B.＋ C.＋1 D.－1 解析：A　[由点A在双曲线上，由双曲线定义知 ||AF1|－|AF2||＝2a＝2， 又·＝0，∴AF1⊥AF2，|AF1|2＋|AF2|2＝(2c)2＝8， ∴(|AF1|－|AF2|)2＝8－2|AF1|·|AF2|＝4，即2|AF1|·|AF2|＝4， ∴(|AF1|＋|AF2|)2＝8＋2|AF1|·|AF2|＝12，∴|AF1|＋|AF2|＝2， 设△AF1F2的内切圆的半径为r， 由△AF1F2的等面积法知|AF1|·|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|＋2c)·r ∴r＝＝＝＝－， 即△AF1F2的内切圆的半径为－，故选A.] 考点二　圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝. 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系． [例2]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. [解析]　A　[由题意易得，e1＝，e2＝，得＝，解得a＝.故选A.] (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． [解析]　由＝－，得＝，设||＝2x，||＝3x， 由对称性可得||＝3x，由定义可得，||＝2x＋2a，||＝5x，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝⇒cos θ＝＝，解得x＝a，所以||＝4a，||＝2