第一部分 专题四 第3讲 空间向量与立体几何-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第3讲　空间向量与立体几何 ★[高考定位]　利用空间向量解决立体几何中的位置关系、空间角以及空间距离的计算等问题，是每年高考的必考内容，并且以解答题的形式出现，其考查形式为一题多问，多步设问，通常第一问考查空间位置关系，第二、三问考查空间角或距离，难度中等. 考点一　异面直线所成的角　直线与平面所成的角 1．向量法求异面直线所成的角 若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝. 2．向量法求线面所成的角 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. [例1]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)求证：AC＝A1C； (2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值． [解]　(1)如图，∵A1C⊥底面ABC，BC⊂平面ABC， ∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1， ∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1， 过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， ∴A1O⊥平面BCC1B1，∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O＝1， 在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2， 设CO＝x，则C1O＝2－x， ∵△A1OC，△A1OC1，△A1CC1为直角三角形，且CC1＝2， CO2＋A1O2＝A1C2，A1O2＋OC＝C1A，A1C2＋A1C＝C1C2， ∴1＋x2＋1＋(2－x)2＝4，解得x＝1， ∴AC＝A1C＝A1C1＝，∴AC＝A1C. (2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵A1A与B1B的距离为2，∴A1F＝2，∴A1C＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝， 建立空间直角坐标系C－xyz如图所示 C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，)， ＝(－2，，)， 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则即，令x＝1， 则y＝0，z＝1 所以，平面BCC1B1的一个法向量为：n＝(1,0,1)， ∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.故AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 利用空间向量求线面角的注意事项 (1)先求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)的角度，再取其余角即为所求． (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值，不要误以为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求． 　(2023·郴州、湘潭适应性考试)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB⊥BC，AC⊥CD，以AC为折痕将△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PB＝CD. (1)证明：AB⊥平面PBC； (2)若M为PA的中点，求直线PB与平面MBC所成角的正弦值． 解：(1)因为BC＝2CD＝2PC，又PB＝CD， 所以PB2＝5CD2＝5PC2＝BC2＋PC2，所以PC⊥BC， 由AC⊥CD，可知AC⊥PC， 因为AC，BC⊂平面ABC，AC∩BC＝C，所以PC⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC，所以PC⊥AB， 又AB⊥BC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， 所以AB⊥平面PBC. (2)取AC的中点O，连接OM，OB， 由(1)知，PC⊥平面ABC，OM为△PAC的中位线，OM∥PC，所以OM⊥平面ABC，又AC，OB⊂平面ABC，所以OM⊥AC，OM⊥OB，即OM，OB，AC两两垂直， 如图，以O为原点，OB，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz， 设CD＝2，则AB＝BC＝4，AC＝4，OB＝AC＝2，OM＝PC＝1， 则P(0,2，2)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，M(0,0,1)， 所以＝(2，－2，－2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0,1)， 设平面MBC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由，⇒ 令x＝1，得y＝1，z＝2，得n＝(1,1,2)， 设直线PB与平面MBC所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PB与平面MBC所成角的正弦值为. 考点二　平面与平面的夹角 　向量法求二面角 求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝； 若二面角α－l