第一部分 专题四 第2讲 空间点、线、面的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　空间点、线、面的位置关系 ★[高考定位]　以选择题、填空题的形式考查时，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真、假进行判断，属基础题．以解答题的形式考查时，主要是线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质，且多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体进行考查，难度中等． 考点一　空间点、线、面位置关系的判断 判断空间直线、平面位置关系的常用方法 1．根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题． 2．必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断． [例1]　(1)(2023·汕头二模)已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是(　　) A．直线b与直线c可能是异面直线 B．直线a与直线c可能平行 C．直线a，b，c必然交于一点(即三线共点) D．直线c与平面α可能平行 [解析]　C　[ABC选项，因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O， 所以O∈α，O∈β，O∈γ， 因为β∩γ＝c，所以O∈c， 所以直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)，AB错误，C正确； D选项，假设直线c与平面α平行， 假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O∉α， 这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误．故选C.] (2)在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝4，△BCD的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为(　　) A.　B.　　C.　　D. [解析]　C　[如图，取AD中点E，连接PE，EC， ∵P是AB中点，∴PE∥BD，PE＝BD＝3， 则∠CPE是PC与BD所成角的平面角(或补角)， 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6， 由余弦定理，cos A＝＝＝－， 在△APC中，PC2＝AP2＋AC2－2×AP×AC×cos A＝22＋42－2×2×4×＝22， ∴PC＝，同理，CE＝， 在△PEC中，由余弦定理可得，cos∠CPE＝＝＝， ∴异面直线PC与BD所成角的余弦为.故选C.] 平移线段法求异面直线所成角的步骤 (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 1．(2023·保山二模)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　) 解析：BD　[对A，连接GM，∵G，M分别为BC，DA的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直线GH，MN共面，故A错误； 对B，已知HN和GM是异面直线，故GH，MN是异面直线，故B正确； 对C，如图，连接GM，∵G，M分别为AC，BC的中点，∴GM∥AB，又AB∥HN，∴GM∥HN，故直线GH，MN共面，故C错误； 对D，直线GH，MN既不平行又不相交，故直线GH，MN是异面直线，故D正确．故选BD.] 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝A1B1. 因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝AB， 因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE， 所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E， 所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角． 因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点， 所以DF＝B1E＝＝，C1F＝＝，C1D＝＝， 所以cos∠C1DF＝＝＝.故选D.] 考点二　空间平行、垂直问题的证明 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [例2]　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－