第一部分 专题三 第2讲 数列求和及其综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　数列求和及其综合应用 ★[高考定位]　数列在解答题中的考查多以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项公式、前n项和等． 考点一　利用递推关系求通项 在数列{an}中，an与Sn的关系：an＝ [例1]　[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列选项中正确的是(　　) A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn－1}的前n项和为2－2n＋1 [解析]　ACD　[∵Sn＝2an＋1(n∈N*)，① ∴Sn＋1＝2an＋1＋1，② 两式作差得：an＋1＝2an＋1－2an，n∈N*， ∴an＋1＝2an，n∈N*，即＝2， ∵a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1. ∴数列{an}是以－1为首项，公比为2的等比数列， 则an＝－1·2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1. 由上述内容可知，选项A，C正确． 当n＝5时，S5＝－25＋1＝－31，则选项B错误． ∵Sn－1＝－2n，Sn＋1－1＝－2n＋1，＝2， ∴数列{Sn－1}是首项为－2的等比数列． 则数列{Sn－1}的前n项和为＝2－2n＋1，则选项D正确．故选ACD.] 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列； (2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列(x≠0，且y≠0)； (3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解； (4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解． 　[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　) A．数列{an＋1}是等差数列 B．数列{an＋1}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D．Tn<1 解析：BCD　[由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，即an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，由S1＝a1＝1， 所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正确； 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故C正确； 又＝＝－， 所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1，故D正确．故选BCD.] 考点二　数列求和 数列求和最常用的四种方法 1．公式法 适合求等差数列或等比数列的前n项和，对于等比数列，利用公式法求和时，一定要注意q是否取1. 2．错位相减法 这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 3．裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求数列的前n项和．若{an}为等差数列，d为公差，则＝. 4．分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，则可以分别求和，再合并即可． [角度1]　分组求和 [例2]　(2023·张家界模拟)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)， 又a1－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列． an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1. (2)由(1)可知an＝2n－1＋1，n∈N*，所以bn＝an＋n＝2n－1＋n＋1, 又由题知Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(20＋2)＋(21＋3)＋(22＋4)＋…＋(2n－1＋n＋1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋[2＋3＋4＋…＋(n＋1)]＝＋＝2n＋－1. 在处理一般数列求和时，一般要注意使用转化思想，把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时，要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解，在利用分组求和法求和时，有时数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后验证是否可以合并为一个公式． [角度2]　裂项求和 [例3]　(2023·运城三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n－2n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)2Sn＝3n－2n－1①， 当n＝1时，2S1＝2a1＝3－2－1＝0，解得a1＝0. 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1－2n＋1②， ①－②，得2an＝3n－3n－1－2＝2·3n－1－2，所以an＝3n－1－1， 又a1＝0，符合