第一部分 专题六 第2讲 随机变量及其分布列-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　随机变量及其分布列 ★[高考定位]　离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度． 考点一　分布列的性质及应用 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn. (4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn. (5)若Y＝aX＋b， 则E(Y)＝aE(X)＋b， D(Y)＝a2D(X)． [例1]　(1)[多选]已知随机变量X的分布列如表： X 0 1 2 P 0.4 a b 若E(X)＝1，离散型随机变量Y满足，Y＝2X－1，则(　　) A．a＝0.2　　　　　 B．b＝0.4 C．E(Y)＝2 D．D(Y)＝3.2 [解析]　ABD　[由分布列的性质，可得0.4＋a＋b＝1，解得a＋b＝0.6①， 因为E(X)＝1，所以0×0.4＋1×a＋2×b＝1，即a＋2b＝1②， 联立①②解得a＝0.2，b＝0.4， ∴D(X)＝(0－1)2×0.4＋(1－1)2×0.2＋(2－1)2×0.4＝0.8， 因为Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝1，D(Y)＝4D(X)＝4×0.8＝3.2.故选ABD.] (2)变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是______． [解析]　依题意，解得a＝，b＝，c＝， 所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. [答案]　 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率． 1．(2023·孝感模拟)已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a 2a－ 若η＝2ξ－1，则D(η)＝(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由a＋2a－＋＝1，得a＝， 则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.因为η＝2ξ－1，所以D(η)＝4D(ξ)＝.故选B.] 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 2 a P 0.2 0.4 b 若E(X)＜1.6，则正整数a＝______. 解析：0.2＋0.4＋b＝1，得b＝0.4，所以E(X)＝0×0.2＋2×0.4＋a×0.4＜1.6，则a＜2， 正整数a＝1. 答案：1 考点二　随机变量的分布列 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·. [角度1]　超几何分布 [例2]　宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望． [解]　(1)设A为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则P(A)＝＝＝， 故n＝5或n＝－14(舍)． (2)X可取0,1,2,3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. [角度2]　二项分布 [例3]　(2023·朔州模拟)明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术