第一部分 专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第3讲　三角恒等变换与解三角形 ★[高考定位]　三角恒等变换与解三角形是高考考查的热点，多以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性较强，解三角形常以解答题的形式考查正、余弦定理的应用，难度中等． 考点一　三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓ sin αsin β； (3)tan(α±β)＝ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [例1]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A.　　B.　　　C．－　　　D．－ [解析]　B　[因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，cos αsin β＝，则sin αcos β＝. 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝. 即cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝.故选B.] (2)(2023·运城三模)已知sin 37°≈，则的近似值为(　　) A. B. C. D. [解析]　B　[因为sin 37°≈，所以cos 37°＝≈， 所以＝＝ ＝ ＝＝＝≈＝.故选B.] 三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[由半角公式可知sin2＝， 解得sin＝.故选D.] 2．(2023·鞍山质监二)已知θ∈，且cos θ－sin θ＝－，则2sin＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[因为cos θ－sin θ＝－， 所以(cos θ－sin θ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝， 所以sin 2θ＝－，则1＋sin 2θ＝＝(cos θ＋sin θ)2＝2sin2. 因为θ∈，则θ＋∈，故sin＜0， 所以2sin＝(cos θ＋sin θ)＝×＝－.故选A.] 考点二　解三角形 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. [例2]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． [解]　(1)由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7， 则BC＝，cos B＝＝＝， sin B＝＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝×＝. 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和这其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． 注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． 　(2023·鄂东南教改联盟联考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC＝π，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝2，求tan∠CAD. [解]　(1)因为∠ABC＝π，AB＝1，AC＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC， 所以7＝1＋BC2＋BC，即BC2＋BC－6＝0，解得BC＝2， 所以S△ABC＝×AB×BC×sin∠ABC＝×1×2×＝. (2)设∠CAD＝θ， 在△ACD中，由正弦定理得＝，所以＝，① 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝θ－， 则＝，即＝，② 由①②得：＝， 即2sin＝sin θ， ∴2＝sin θ， 整理得2sin θ＝cos