第一部分 专题二 第2讲 三角函数的图象与性质-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　三角函数的图象与性质 ★[高考定位]　三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下． 考点一　三角函数的定义、基本关系及诱导公式 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． [例1]　(1)(2023·青岛一模)在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则sin α＝(　　) A.　　B．－　　　C．－　　　D. [解析]　B　[依题意，因为sin＝，cos＝－，所以终边经过的点为， 所以终边在第四象限，所以sin α＝＝－.故选B.] (2)[多选]已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则下列选项中正确的有(　　) A．sin α－cos α＝ B．tan α＝ C．cos α＝－ D．sin αcos α＝－ [解析]　ACD　[将sin α＋cos α＝两边同时平方，整理得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－＜0，故D正确． 又α∈(0，π)，所以α∈， 所以由，解得，故C正确， 所以sin α－cos α＝，tan α＝－，故A正确，B错误．故选ACD.] 应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． (2)应用诱导公式与同角三角函数的关系开方运算时，一定要注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 1．若α∈，且sin(π＋α)＝，则sin等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[∵α∈，且sin(π＋α)＝， ∴sin α＝－， ∴cos α＝＝， 则sin＝sin＝－cos α＝－. 故选B.] 2．[多选](2023·湖南四大名校联考)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 解析：AD　[由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确． 由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB的正弦值，即y1＝sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝cos x0，所以B错误． 当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误． 反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确．故选AD.] 考点二　三角函数的图象 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，分别令z＝0，，π，，2π，求出相应x的值与相应y的值，描点、连线可得其图象． 2．图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin (ωx＋φ)． [例2]　(1)(2023·曲靖质监二)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的部分图象如图所示，则g＝(　　) A.　　B.　　　C．－　　　D．－ [解析]　B　[由题意可知，g(x)＝Acos， 由图象知，A＝1，T＝－＝，解得T＝π，所以ω＝＝2； 代入增区间上的零点后可得：cos＝0， 所以＋＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|＜，所以φ＝－，即g(x)＝cos， 所以g＝，故选B.] (2)[多选](2023·潍坊模拟)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．φ＝－或 B．f(x)＝cos C．f＝ D．若α∈且f(α)>0，则sin<0 [解析]　BC　[由函数图象可知，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)过点(0，－1)， 所以sin(0·x＋φ)＝－1，sin φ＝－， 所以φ＝－＋2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为函数图象在单调递增区间内，故φ＝＋2kπ舍去， 又因为－<φ<，所以φ＝－，故A错误； 此时，f(x)＝sin， 因为函数图象过点，代入f(x)＝sin， 得ω－＝2kπ，解得ω＝2＋16