第一部分 专题二 第1讲 平面向量-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

[教师用书独具] 2023年高考试卷 考情分布 命题解读 新课标Ⅰ卷 T3，T8，T15，T17 1.考查内容：主要考查平面向量的运算、三角函数的运算、三角函数的性质、解三角形等知识． 2．趋势分析：(1)多层次：各种难度都有涉及，题型齐全； (2)综合性：强化通性通法，加大以三角函数的性质、解三角形为载体的方法、能力的考查； (3)变角度：加大三角函数的性质、解三角形相关问题的考查力度； (4)重能力：加大运算、探究等综合问题． 3．学科素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. 新课标Ⅱ卷 T7，T13，T16，T17 全国甲卷 T4，T7，T10 全国乙卷 T6，T12，T18 第1讲　平面向量 ★[高考定位]　高考中经常直接考查向量的概念和运算，以解决有关长度、垂直、夹角等问题，此类题一般以客观题形式出现，难度不大．有时也考查平面向量的综合应用．常与解析几何、三角函数等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅．综合性比较强，难度也比较大． 考点一　平面向量的概念及线性运算 在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点． [例1]　(1)[多选]下列说法错误的是(　　) A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量e1与向量e2共线，则有且只有一个实数λ，使得e1＝λe2 D．|a·b|≤|a|·|b| [解析]　ABC　[对A，零向量的方向规定为任意方向，故错误；对B，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误；对C，根据共线定理可知，e2≠0时，才有唯一实数λ，使得e1＝λe2，若e2＝0，则实数λ不唯一，故错误；对D，|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故正确．故选ABC.] (2)[多选](2023·邯郸三模)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则下列结论正确的是(　　) A.＝2　　　　 B．||＝2|| C.＝＋ D.＝＋ [解析]　ABC　[依题意，显然△APB∽△DPC，故有＝＝＝， 即AP＝2PC，PB＝2PD，则＝2，故A正确； 又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB， 即||＝2||，故B正确； 在△ABD中，＝＋＝＋＝ ＋(－)＝＋，故C正确； 又＝＝＝＋，所以D错误；故选ABC.] 平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中要重视数形结合，结合图形分析向量间的关系． 1．(2023·衢州二模)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＋2＋2＋＝(　　) A.　 B.　 　C．2　　 D. 解析：A　[M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝－，＝－， 所以＋2＋2＋＝＋＋＋＋＋＝＋＝－＝.故选A.] 2．(2023·武汉调研)正六边形ABCDEF中，用和表示，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ 解析：B　[设边长为2，如图，设AD，EC交于点O，有OD＝1，AO＝3， 则＝＋＝(＋)＋(＋)＝－＋，故选B.] 考点二　共线向量定理与平面向量基本定理 1．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [例2]　(1)(2023·齐齐哈尔一模)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x＝(　　) A．1或－　 B．－　　 C.或　　 D. [解析]　A　[因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－.故选A.] (2)(2023·南京二模)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经)一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积比为___________；②设＝λ＋μ，则λ＋μ＝___________. [解析]　如图：连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点． 则S△DEF＝S△AEF＝S△AFC， S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF， 得＝. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋ ＝－，＝－＝－， 化简得＝＋， 所以λ＋μ＝＋＝.