第二部分 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

第2讲　分类讨论思想、转化与化归思想 分类讨论思想 转化与化归思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度. 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 　　　由数学概念引起的分类讨论 此类问题多以选择题或解答题的形式考查，主要涉及绝对值、不等式、直线、对数函数、指数函数、数列等内容． [例1]　已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． [思路导引]　→→ [答案]　－ 　由概念引起的分类讨论有很多，常见的类型有：①绝对值：根据|a|的定义分a＞0，a＝0，a＜0三种情况讨论；②直线的斜率存在与不存在的讨论；③对数、指数函数的底数有a＞1或0＜a＜1的讨论． 　　　由参数的变化引起的分类讨论 [例2]　(2023·大庆三模)已知函数f(x)＝eax(ln x＋b)，其中a，b∈R. (1)若∀b∈R，f(x)有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围； (2)是否存在a，b∈R，x0＞0，使得x0是f(x)的极值点，且满足f(x0)∈[－e,0]，若存在，求出所有这样的a，b；若不存在，请说明理由． [思路导引]　(1)先求f′(x)，构造函数g(x)＝aln x＋＋ab，再求g′(x)，再分别讨论a＝0，a＞0和a＜0时的g′(x)的符号，从而判断f′(x)的符号，进而即可求解；(2)先假设存在满足题意，结合(1)得到－∈[－e,0]，再构造函数φ(t)＝，求得φ′(t)，再根据导数的性质求得φ(t)＝e，从而得到x0＝，且a＞0，再结合(1)即可得到结论． [解]　(1)由f(x)＝eax(ln x＋b)，则f′(x)＝eax(x＞0)， 令f′(x)＝0，则aln x＋＋ab＝0， 设g(x)＝aln x＋＋ab，则g′(x)＝， 若a＝0，则f′(x)＝＞0，不合题意舍去； 若a＞0，则当x∈时，g′(x)＜0，此时g(x)单调递减； 当x∈时，g′(x)＞0，此时g(x)单调递增， 取b，使得g(x)的最小值g＝aln＋a＋ab＞0， 则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增，不合题意舍去； 若a＜0，则g(x)＝aln x＋＋ab在(0，＋∞)上递减， 取x＞1且x＞，使得aln x＋ab＋＜aln x＋ab＋1＜0， 再取0＜x＜1且＞－ab，使得aln x＋ab＋＞ab＋＞0. 所以g(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，即f(x)有且仅有一个极值点，满足题意． 综上a的取值范围是(－∞，0)． (2)假设存在满足题意． 由(1)知aln x0＋ab＋＝0①，且eax0(ln x0＋b)∈[－e,0]②， 显然a≠0，由①得ln x0＋b＝－，将其代入②得∈[－e,0]， 令t＝ax0，则∈(0，e]， 令φ(t)＝，则φ′(t)＝(t＞0)． 当0＜t＜1时，φ′(t)＜0，当t＞1时，φ′(t)＞0， 所以φ(t)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以φ(t)≥φ(1)＝e， 又φ(t)∈(0，e]，则φ(t)＝e，所以t＝1，即ax0＝1，x0＝，且a＞0， 又由(1)知，当a＞0时，g(x)在上递减，在上递增， 所以g(x)min＝g(x0)＝0，所以g(x)≥0，所以f′(x)≥0，此时f(x)在(0，＋∞)上无极值点， 故不存在这样的a，b满足题意． 　求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数的几何意义有时还要考虑运用数形结合思想． 　　　由图形的变化引起的分类讨论 此类问题主要涉及函数、解析几何、立体几何等内容，难度较大． [例3]　[多选](2023·海口模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，P分别是AA1，CC1和C1D1的中点，Q在线段D1A1上，则(　　) A．A，B，C，M，N五点在同一个球面上 B．直线BB1与平面PMN的交点为线段BB1靠近点B的四等分点 C．三棱锥P－BMN的体积为 D．存在点Q，使B1Q⊥平面QMN [思路导引]　利用棱锥的体积计算公式，线面垂直的性质、直线与平面的交点等有关知识逐项进行验证即可求解． [解析]　AC　[对于A，分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体