第二部分 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想-【创新教程】2024高考数学总复习大二轮专题增分方案教师用书word（新教材）

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等． 第1讲　函数与方程思想、数形结合思想 函数与方程思想 数形结合思想 　　函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决. 　　数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合包括以下两种途径： (1)通过坐标系“形题数解” (2)通过转化构造“数题形解” 　　　运用函数相关概念的本质解题 在理解函数，函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题，常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值问题，研究函数的性质． [例1]　若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　 ) A．(0,1)　　　　　　　　 B. C. D. [思路导引]　→ →. 　解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视． 　　　运用函数的性质解题 能意识到题目考查函数的什么性质或相关问题应该用函数的什么性质来解答，考查热点有函数的单调性、奇偶性及函数图象的对称性等，常见问题是函数性质的应用． [例2]　[多选](2023·石家庄质检一)设f(x)是定义域为R的奇函数，且y＝f(2x＋2π)的图象关于直线x＝－对称，若0＜x≤π时，f(x)＝(ex－eπ－x)cos x，则(　　) A．f(x＋π)为偶函数 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在区间[0,2 023π]上有4 046个零点 D．f(kπ)＝1－eπ [思路导引]　利用函数的平移变换和伸缩变换判断A，利用导函数研究f(x)的单调性，结合奇函数的性质判断B，利用f(x)是奇函数和f(x＋π)是偶函数求得f(x)的周期判断CD. [解析]　AB　[因为y＝f(2x＋2π)的图象关于直线x＝－对称， 所以将f(2x＋2π)的图象向右平移个单位得y＝f＝f(2x＋π)的图象关于y轴对称， 再将f(2x＋π)的横坐标扩大为原来的2倍得f(x＋π)的图象关于y轴对称，即f(x＋π)为偶函数，A正确； 由题意可得当0＜x≤π时令g(x)＝f′(x)＝(ex＋eπ－x)cos x－(ex－eπ－x)sin x，则g′(x)＝－2(ex＋eπ－x)sin x≤0在0＜x≤π上恒成立， 所以f′(x)单调递减， 又f′＝0，所以当0＜x＜时f′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x≤π时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 因为f(x)是奇函数，所以f(x)在上单调递减，B正确； 由A可得f(x)关于x＝π对称，结合f(x)是奇函数可得f(－x)＝－f(x)＝f(2π＋x)， 所以f(x)＝－f(2π＋x)＝f(x＋4π)，即f(x)是以4π为周期的周期函数， 因为f＝0，结合f(x)单调性和关于x＝π对称可得f(x)在区间(0,2π)上有2个零点， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)＝0，所以f(x)在区间[－2π，2π)上有6个零点， 所以f(x)在区间[0,2 023π]上有505×6＋5＝3 035个零点，C错误； 因为f(π)＝1－eπ，f(2π)＝f(0)＝0，f(3π)＝－f(－3π)＝－f(π)＝eπ－1，f(4π)＝f(0)＝0， 所以f(kπ)＝505[f(π)＋f(2π)＋f(3π)＋f(4π)]＋f(π)＋f(2π)＋f(3π)＝0，D错误；故选AB.] 　利用函数的单调性、奇偶性、对称性，在求解的过程中，需要利用函数的性质，从而求得结果． 　　　构造函数解决问题 根据题设条件，构造相关函数，运用这个函数的性质解答问题，常见问题有：比较大小、解不等式等． [例3]　(