专题2.1 不等式性质、二次不等式与基本不等式（真题体验+十一个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题2.1 不等式性质、二次不等式与基本不等式 1．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2021年全国高考乙卷数学试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2022年新高考全国II卷数学真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为 ． 9．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为 ． 10．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是 ． 题型一 不等式的性质 【解题方法】利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【例1】若为实数，且，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（多选）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 解二次不等式、分式不等式及绝对值不等式 【解题方法】解一元二次不等式：求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根，根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 解分式不等式：将分式不等式转化为整式不等式，注意分母不等于0； 解绝对值不等式：①；② 【例3】已知条件，条件，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 二次方程根的分布问题 【解题方法】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 【例5】已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 【例6】关于x方程在内恰有一解，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）已知，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【变式3-2】已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是 ． 【变式3-3】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是 题型四 解含参的二次不等式 【解题方法】解含参数的一元二次不等式： （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例7】已知集合，，若且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例8】（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则a的值可以为（    ） A． B．1 C．－1 D．2 【变式4-1】若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数，且，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为 . 【变式4-3】若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数的取值范围为 . 题型五 配凑法求最值（含分式） 【解题方法】添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用基本不等式 【例9】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例10