专题1 数列求和的常用方法(2) 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和的常用方法（2） 第四章 数列 2023/12/9 专题1: 高二数学备课组 1 引 入 LOGO 2 课堂练习 练习1 已知数列{an}满足an =3an-1+2(n≥2)，a1 =1，若bn =3an+2n-1，求数列{bn}的前n项和Tn. LOGO 3 课堂练习 练习1 已知数列{an}满足an =3an-1+2(n≥2)，a1 =1，若bn =3an+2n-1，求数列{bn}的前n项和Tn. LOGO 4 课堂练习 LOGO 5 课堂练习 练习3 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n＋1·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a2 023等于 A.－3033 B.3033 C.－3034 D.3034 解：S2 023＝(1－4)＋(7－10)＋…＋(6 055－6 058)＋(6 061－6 064)＋6 067＝1 011×(－3)＋6 067＝3 034. D LOGO 6 课堂练习 B 练习4 练习5 -1012 LOGO 7 课堂练习 练习6在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝__________. 解：令S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加可得 2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝89， 故S＝44.5，即sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44.5. LOGO 8 课堂练习 练习7 T2020=1010 an=n LOGO 9 探究新知 (1) (2) 1-q是否为零？ 讨论公比q是否为1 问题1：等比数列前n项和公式的如何推导的呢？ 错位相减法 LOGO 10 探究新知 (4)差的特点: 相减后的差共有n+1项, 去掉前后两项,中间的n-1项一定是等比数列. 5.错位相减法 (1)适用数列: ②{an}和{bn}中一个是等差数列, 一个是等比数列; ①通项公式形如an·bn, 等差×等比 (2)所乘系数: 在等式两边同乘的是等比数列的公比; (3)书写格式: 两个等式中次数一样的项对齐（错位对齐）; 错位相减法求和的一般步骤：求通项—累加—乘公比—错位—相减—求和. LOGO 11 引 入 例1 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0). LOGO 12 探究新知 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋4x4＋… ＋nxn， 例1 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0). xSn＝ x2 ＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 . 累加 相减 求和 乘公比 错位 LOGO 13 探究新知 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列 是公差为1的等差数列，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. LOGO 14 探究新知 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列 是公差为1的等差数列，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. ∴an＝2n－1. 可得Sn＝n(a1＋n－1)， ∴a1＋a2＝2(a1＋1)，且a2＝3. 解得a1＝1.∴Sn＝n2. ∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又当n＝1时也成立. LOGO 15 探究新知 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列 是公差为1的等差数列，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：bn＝an·3n＝(2n－1)·3n， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1. ∴数列{bn}的前n项和Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴ 3Tn＝ 32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， LOGO 16 探究新知 Sn＝a1＋a2＋…＋an 6.裂项相消法 LOGO 17 探究新知 例3 设 {an}是公差d 不为零的等差数列 ，{bn}满足 求：{bn}的前n项和. 它的拆项方法你掌握了吗？ 解： LOGO 18 探究新知 常见的裂项求和的形式： ➱ ➱ LOGO 19 探究新知 解：设数列{an}的公差为d， ∴an＝a1＋(n－1)d＝