习题课4 数列求和的求法(2) 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

习题课4 数列求和的求法 第四章 数列 课时4 数列求和的求法 自学检测 1. ( ) . A. B. C. D. 2.已知函数满足，数列满足，则数列的通项公式为____________. B 2 自学检测 3. 已知数列的前项和为,若,,且 . (1) 求数列 的通项公式; (2) 记,求数列的前项和 . 【解析】(1) 由，可得 ，所以数列 为等差数列.设等差数列的公差为，则, , 又,，所以 ，从而 . (2) 由(1)可知，所以 ，所以 . 当为偶数时， ; 当为奇数时， .故数列 的前项和 . 3 一、错位相减 例题1 数列为等差数列，为公比为的等比数列，且， ， ， . (1) 求， 的通项公式； (2) 求数列的前项和 . 【解析】(1) 设等差数列的公差为 ， 由得解得或 又，所以 故， . (2) ，则 ， ， 两式相减得 ， 所以 . 4 反思感悟 方法总结 错位相减法求和的策略 (1)如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般将和式两边同时乘以等比数列的公比，然后作差求解； (2)在写“”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“ ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 5 新知运用 跟踪训练1 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知 ， ,, . (1) 求数列, 的通项公式； (2) 记为数列的前项和，求 . 【解析】(1) 设等差数列的公差为,等比数列的公比为 , 由，，得, ,所以 ,即数列 的通项公式为 .因为 ,且由得 ,解得或（舍去），所以 ,所以数列的通项公式为 . (2) 由（1）得 ,所以 , ,两式相减得 ,所以 . 6 二、倒序相加法 例题2 已知函数，设 ， . (1) 计算的值； (2) 求数列 的通项公式. 【解析】(1) . （2）由题意知，当时， ， 又 ，两式相加得 ，所以 . 又不符合 ，所以 7 反思感悟 方法总结 若数列 中与首末两项等距离的两项之和相等，即 ，则可用倒序相加法求和. 8 新知运用 跟踪训练2 已知，数列满足，则数列的通项公式为 ( ) . A. B. C. D. 【解析】因为，即，， ， 所以 .故选C. C 9 三、奇偶项求和 例题3 已知数列的前项和为，， . (1) 求数列 的通项公式； (2) 若求数列的前项和 . 【解析】(1)在数列中，， ， 当时，，两式相减得 ， 而，即对任意，都有 ，因此数列 是首项为1，公比为3的等比数列， ，所以数列的通项公式是 . (2) 由（1）知， 当为偶数时， ； 当为奇数时， .故的前项和 10 反思感悟 方法总结 对于奇偶项分类讨论的求和问题，优先考虑𝑛为偶数，利用分组求和，求得 ，而对于为奇数，只需要利用关系式即可. 11 新知运用 跟踪训练3 已知数列满足，且 (1) 若，证明：数列 是等比数列. (2) 求数列的前项和 . 【解析】(1) 因为， ，所以 ， ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知 ，所以 ， 所以当，时， . 当， 时， . 当， 时， .综上， 12 随堂检测 1.数列的前项和等于( ) . A. B. C. D. 2.在数列中，，且，记数列的前项和为,则 ( ) . A.0 B.1300 C.2600 D.2650 3.若一个数列从第二项起，每一项与后一项的和都等于一个常数，则称此数列为等和数列，这个常数叫作等和数列的公和.设等和数列的公和为2，前项和为 ，若，则 ___. D B 2 13 课堂小结 1.知识清单： (1)错位相减； (2)倒序相加； (3)奇偶性求和. 14 $$