专题10 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题10 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 【模型证明】 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 例2．（2023·山东日照·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ． 例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．      例4．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________ ∴___________ ∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 例5．（2023上·北京东城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 对于及外一点P，M，N是上两点，当最大，称为点P关于的“视角”． 直线l与相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于的“视角”． (1)如图，的半径为1，①已知点，直接写出点A关于的“视角”； 已知直线，直接写出直线关于的“视角”； ②若点B关于的“视角”为，直接写出一个符合条件的B点坐标； (2)的半径为1，①点C的坐标为，直线经过点，若直线关于的“视角”为，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线关于的“视角"大于，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 模型2. 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。 ∵OA+OE≥AD（当且