上海市东华大学附属奉贤致远中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

1 / 4 东华致远 2023 学年第一学期期中教学评估 高一数学 试卷 考试时间：120 分钟 满分 150 分 一、填空（1~6 题每题 4 分，7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合𝐴 = {𝑎2 − 2𝑎, 1}，若3 ∈ 𝐴，则实数𝑎的值是 ___________. 2. 分式不等式 1 𝑥 > 1的解集为 __________. 3. 已知𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅，则“𝑥 > 1 且𝑦 > 1”是“𝑥 + 𝑦 > 2”的 ___________ 条件. 4. 将 1 √𝑎√𝑎 3 (𝑎＞0)化为有理数指数幂的形式为 ___________. 5. 设𝑥 > 0, 𝑦 > 0,且𝑥 + 𝑦 = 18，则𝑥𝑦的最大值为 ____________. 6. 已知对数函数𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎 > 0 且𝑎 ≠ 1)的图像经过点(3,2), 若点𝑃(𝑏, 4)为此函数图像上 的点，则实数𝑏= ____________. 7. 若𝑙𝑜𝑔53 = 𝑎，5 𝑏 = 2，用含有𝑎，𝑏的代数式表示𝑙𝑜𝑔26为 ___________. 8. 关于 x 的方程|𝑥 − 𝑎| + |𝑥 − 𝑎 − 1| = 1的解为 ____________. 9. 用反证法证明时，命题“实数𝑎, 𝑏, 𝑐中至少有 1 个数是偶数”的否定是 ______________. 10. 若函数y = (𝑎2 − 3𝑎 + 3)𝑎x是指数函数，则 𝑎= ____________. 11. 若不等式(𝑎2 − 1)𝑥2 − (𝑎 − 1)𝑥 − 1 < 0的解集为 R，则实数𝑎的取值范围是 ____________. 12. 对于数集𝑋＝{﹣1，𝑥1，𝑥2，𝑥3，⋯，𝑥𝑛}，其中 0＜𝑥1＜𝑥2＜𝑥3＜⋯＜𝑥𝑛，n≥2，定义点集 𝑌＝{(𝑠，𝑡) | 𝑠 ∈ 𝑋，𝑡 ∈ 𝑋}，若对于任意(𝑠1，𝑡1) ∈ 𝑌，存在(𝑠2，𝑡2) ∈ 𝑌，使得𝑠1𝑠2+𝑡1𝑡2＝ 0，则称集合 X 具有性质 P。 则下列命题中为真命题的是 ____________. ① 𝑋＝{﹣1，1，2}具有性质 P； ② 若集合𝑋具有性质 P，则1 ∈ 𝑋； ③ 集合𝑋具有性质 P，若𝑥1 = 1 2 ，则𝑥𝑛＝1． 二、选择题（13~16 题每题 5 分） 13. 集合𝐴 = {1，2，3，4，5}，则该集合的非空真子集个数有（ ） A. 25 个 B. 23 个 C. 32 个 D. 30 个 14. 下列计算正确的是（ ） A. (2𝑎 + 1)2 = 2𝑎2 + 2𝑎 + 1 B. (−𝑎2)3 = −𝑎6 C. √9 = ±3 D. 𝑎 + 2𝑎2 = 3𝑎3 2 / 4 15. 幂函数𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥−1, 𝑦 = 𝑥 1 3, 𝑦 = 𝑥− 1 2，在第一象限图像依次是下图中的曲线（ ） A.𝐶2, 𝐶1, 𝐶3, 𝐶4 B. 𝐶4, 𝐶1, 𝐶3, 𝐶2 C. 𝐶3, 𝐶2, 𝐶1, 𝐶4 D. 𝐶1, 𝐶4, 𝐶2, 𝐶3 16. 关于𝑥的不等式𝑥2 − 2𝑎𝑥 − 8𝑎2 < 0 (𝑎 > 0) 的解集为(𝑥1，𝑥2),且𝑥2−𝑥1 = 15,则实数𝑎=（ ） A. 5 2 B. 7 2 C. 15 4 D. 15 2 三、解答题(17~21 题满分 76 分) 17.（1）试比较 2(𝑎 − 1)2 与 𝑎2 − 4𝑎 + 2 的值的大小（6 分） （2）设𝑛 ∈ 𝑍. 证明：若𝑛2是偶数，则𝑛也是偶数（6 分） 18. 已知𝐴 = { 𝑥 | 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 0}, 𝐵 = { 𝑥 | |𝑥 − 𝑎| ≤ 1, 𝑎 ∈ 𝑅} (1)若𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴，求实数𝑎的取值范围；（7 分） (2)若𝑎 ∈ 𝐴，求𝐴 ∩ 𝐵. （7 分） 3 / 4 19. 2023 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成