专题04 幂函数、指数函数与对数函数-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

【原卷版】 专题04 幂函数、指数函数与对数函数 第4章 幂函数、指数函数与对数函数【课本目录】 4.1 幂函数：4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质； 4.2 指数函数：4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质； 4.3 对数函数：4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质； 本章内容提要 1. 幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体. 2. 幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 3. 指数函数（，）的定义域是全体实数. 4. 指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 5. 对数函数的定义域是正数全体. 6. 对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减. 题型1、对幂函数的概念的理解 例1、（1）函数f(x)＝(a－b) ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b) C．f(a)＝f(b) D．以上都不对 （2）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【说明】理解幂函数的概念、判断及应用： 1、判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数； 2、若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式； 题型2、幂函数的图象与性质 例2、（1）若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时， ①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)； （2）已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2,8)，下列说法正确的序号是 ①函数y＝xα的图象过原点； ②函数y＝xα是偶函数； ③函数y＝xα是单调减函数； ④函数y＝xα的值域为R； 【说明】1、幂函数图象的画法： ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 2、对于幂函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 3、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 4、一般幂函数的图象特征： （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； （3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减； （4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； （5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列； 题型3、幂函数的性质的综合应用 例3、（1）给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝； 其中满足条件f >(x1>x2>0)的函数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减， 求满足 的的取值范围； 【说明】本题通过幂函数的图象特征抽象出幂函数的奇偶性，根据幂函数的单调性确定参数的值，得到幂函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养； 解决与幂函数有关的综合性问题的方法：首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同；同时，注意分类讨论思想的应用； 题型4、对指数函数的概念的理解 例4、（1）给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x； 其中，指数函数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 （2）若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 【说明】判断一个函数是否为指数函数的方法： 1、底数的值是否符合要求；2、ax前的系数是否为1；3、指数是