专题03 幂、指数与对数-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

【原卷版】 专题03 幂、指数与对数 第3章 幂、指数与对数【课本目录】 3.1 幂与指数；3.1.1 指数幂的拓展； 3.2 对数：3.2.1 对数的定义；3.2.2 对数的运算性质；3.2.3 对数的换底； 本章内容提要 1. 指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂. 2. 幂的运算性质：对任意给定的正实数及实数，成立 （1）； （2）； （3）. 3. 对数的定义：当 3. 对数的定义：当是不等于1的正数，时，以为底的对数 是满足的唯一的数； 4. 对数的基本性质：设是不等于1的正数，是任意给定的正数，是任意给定的实数，成立 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（换底公式）如果也是一个不等于1的正数，那么 题型1、根式、指数式的化简与求值 例1、（1）化简的结果为（ ） A．m　　　　　　　 B．m C．－m D．－m （2）若a＋b＝，ab＝ (m＞0)，则a3＋b3＝ 【说明】指数幂运算的一般原则： 1、有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数．底数是带分数的，先化成假分数； 4、若是根式，则化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； 题型2、有理数指数幂的运算 例2、（1）＋0.1－2＋－3π0＋； （2）－＋＋－π0. 【说明】1、有理数指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则； 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）运用分数指数幂的运算法则求解； 3、对于化简或求值结果的要求：对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序； 题型3、结合乘法公式求含指数幂的代数式 例3、（1）已知＋＝，则x2＋x－2＝________. （2）已知x＋x－1＝7，求值：①＋；②x2－x－2；③x3＋x－3 【说明】利用整体代换法求分数指数幂：1、整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；2、利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2； 题型4、由根式的意义求范围 例4、（1）求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围． （2）若＝，求实数a的取值范围． 【说明】由根式的意义求范围应该注意：对于，当n为偶数时，要注意两点：1、只有a≥0才有意义；2、只要有意义，必不为负； 题型5、利用根式的性质化简或求值 例5、（1）化简下列各式：①；②(a≤1)；③＋； （2）已知－3<x<3，求－的值． 【说明】正确区分与()n： 1、()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围； 2、中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性； 有限制条件根式的化简 1、有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． 2、有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负； 题型6、对数式的化简与求值 例6、（1）若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝(　　) A．a＋2b－3c　　　　　　　 B．a＋b2－c3 C． D． （2）计算(log32＋log23)2－－的值为 【说明】对数运算的一般思路： 1、将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； 2、将同底对数的和、差、倍合并； 3、ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化； 4、利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； 题型7、换底公式及其应用 例7、（1）计算：(log43＋log83)log32＝________. （2）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645. 【说明】1、换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数. 2、换底公式应用于代数式表示对数：换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的