专题05 一元二次方程（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题05 一元二次方程 1．能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系； 3．知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题； 4．能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理，建立模型观念。 考点1：一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是 方程，否则一定不是一元二次方程； 其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0， 看是否具备另两个条件：① ；② . 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 考点2：一元二次方程的解法 1.基本思想 一元二次方程一元一次方程 2.基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 考点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有 个不相等的实数根； （2）当 时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程 实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 注：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：　 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： （1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； （2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； （3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 考点4：列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 注：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【题型1：一元二次方程的概念】 【典例1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为 ． 1．（2012上·江苏常州·九年级阶段练习）关于的一元二次方程有一根为0，则 ． 2．（2023·江苏宿迁·统考二模）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是 ． 3．（2023·江苏·模拟预测）若是关于的一元二次方程的解，则的值为 ． 4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x的方程的一个根为3，则m的值为 ． 【题型2：一元二次方程的解法】 【典例2】（2023·江苏无锡·统考中考真题）（1）解方程：       （2）解不等式组： 1．（2012上·山东临沂·九年级阶段练习）方程的解为 ． 2．（2012·江苏无锡·统考一模）解方程：． 3．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 4．（2023·江苏苏州·校考二模）解方程：． 【题型3：一元二次方程根与系数关系】 【典例3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ． 1．（2023·江苏盐城·校考二模）已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏南京·九年级统