重难点1-1 基本不等式求最值（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点1-1 基本不等式求最值 基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。 在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。 【题型1 直接法求最值】 满分技巧 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 【例1】（2023·河南信阳·高三宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知，，且，则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【变式1-1】（2023·山东聊城·高三统考期中）已知，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若且满足，则的最小值为 . 【变式1-3】（2023·河北保定·高三易县中学校考阶段练习）若都是正数，且，则的最小值为 ． 【变式1-4】（2023·河南·模拟预测）已知，则的最大值为 ． 【题型2 配凑法求最值】 满分技巧 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是 . 【变式2-1】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】（2023·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知实数，满足，则的最小值为 . 【变式2-4】（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x，y满足：，则的最大值为 . 【变式2-5】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，，则的最大值为 . 【题型3 消元法求最值】 满分技巧 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。 【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D． 【变式3-3】（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【变式3-4】（2023·河南洛阳·高三校联考模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【题型4 “1”的代换求最值】 满分技巧 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【例4】（2023·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．25 B．36 C．42 D．5